(1) 证明：对于任意实数 $t$，复数 $z = \sqrt{|\cos t|} + \sqrt{|\sin t|}\mathrm{i}$ 的模 $r = |z|$ 适合 $r \leqslant \sqrt[4]{2}$. (2) 当实数 $t$ 取什么值时，复数 $z = \sqrt{|\cos t|} + \sqrt{|\sin t|}\mathrm{i}$ 的幅角主值 $\theta$ 适合 $0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}$？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由复数模的定义， 对非负数 $u=|\cos t|$，$v=|\sin t|$，由 $(u-v)^{2}\geqslant0$ 得 $u+v\leqslant\sqrt{2(u^{2}+v^{2})}$. 因为 $u^{2}+v^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$，所以 $r^{2}\leqslant\sqrt{2}$，即 $r\leqslant\sqrt[4]{2}$. 当且仅当 $|\cos t|=|\sin t|$ 时取等号. \item $z$ 的实部和虚部均非负，且不同时为零，因此其幅角主值满足 $0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$. 在此范围内， 若 $\cos t=0$，则 $|\sin t|=1>|\cos t|=0$，不满足上述不等式；若 $\cos t\neq0$，则 在每个区间 $k\pi-\frac{\pi}{2}<t<k\pi+\frac{\pi}{2}$ 内，$\tan t$ 严格递增，因此 $|\tan t|\leqslant1$ 等价于 $k\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant t\leqslant k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbf{Z}$. \end{enumerate} \end{solution}