设 $\alpha = \frac{4\pi}{3}$，则 $\arccos\left(\cos\alpha\right)$ 的值是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 反余弦函数的值域为 $[0,\pi]$. 因为 $\cos\frac{4\pi}{3}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$，所以 $\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}$，故选 C. \end{solution}

计算行列式（要求结果最简）：.

\begin{solution} 设行列式为 $\Delta$. 记三列分别为 $C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$. 由三角函数加法公式， $\sin(\beta-\varphi)=\cos\varphi\sin\beta-\sin\varphi\cos\beta$，$\cos2\varphi=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi$. 故 $C_{2}=\cos\varphi\,C_{3}-\sin\varphi\,C_{1}$，三列线性相关，从而 $\Delta=0$. \end{solution}