高考数学真题题库

圆 $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$ 的圆心坐标是（ ）

某运输公司有 $12$ 名驾驶员和 $19$ 名工人，有 $8$ 辆载重量为 $10\text{ 吨}$ 的甲型卡车和 $7$ 辆载重量为 $6\text{ 吨}$ 的乙型卡车. 某天需运往 $A$ 地至少 $72\text{ 吨}$ 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 $2$ 名工人，运送一次可得利润 $450\text{ 元}$；派用的每辆乙型卡车需配 $1$ 名工人，运送一次可得利润 $350\text{ 元}$，该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数，可得最大利润 $z =$（ ）

在抛物线 $y = x^2 + ax - 5$（$a \neq 0$）上取横坐标为 $x_1 = -4$，$x_2 = 2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5x^2 + 5y^2 = 36$ 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）

双曲线 $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$ 上一点 $P$ 到双曲线右焦点的距离是 $4$，那么点 $P$ 到左准线的距离是______.

过点 $C(0, 1)$ 的椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆与 $x$ 轴交于两点 $A(a, 0)$，$B(-a, 0)$，过点 $C$ 的直线 $l$ 与椭圆交于另一点 $D$，并与 $x$ 轴交于点 $P$，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $Q$.

(1) 当直线 $l$ 过椭圆右焦点时，求线段 $CD$ 的长； (2) 当点 $P$ 异于点 $B$ 时，求证：$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}$ 为定值.