设函数 $f(x) = ax^n (1 - x) + b$（$x > 0$），$n$ 为正整数，$a$，$b$ 为常数. 曲线 $y = f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x + y = 1$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的最大值； (3) 证明： $f(x) < \frac{1}{n\mathrm{e}}$.