已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，$A$，$B$ 是该抛物线上的两点，$|AF| + |BF| = 3$，则线段 $AB$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（ ）

已知点 $(2,3)$ 在双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）上，$C$ 的焦距为 4，则它的离心率为______.

如图，已知椭圆 $C_1$ 的中心在原点 $O$，长轴左，右端点 $M$，$N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_2$ 的短轴为 $MN$，且 $C_1$，$C_2$ 的离心率都为 $e$. 直线 $l \perp MN$，$l$ 与 $C_1$ 交于两点，与 $C_2$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A$，$B$，$C$，$D$.

(1) 设 $e = \frac{1}{2}$，求 $|BC|$ 与 $|AD|$ 的比值. (2) 当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$，使得 $BO \parallel AN$，并说明理由.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 （$\varphi$ 为参数）. 曲线 $C_2$ 的参数方程为 （$a > b > 0$，$\varphi$ 为参数）. 在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l: \theta = \alpha$ 与 $C_1$，$C_2$ 各有一个交点. 当 $\alpha = 0$ 时，这两个交点间的距离为 2，当 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 时，这两个交点重合.

(1) 分别说明 $C_1$，$C_2$ 是什么曲线，并求出 $a$ 与 $b$ 的值； (2) 设当 $\alpha = \frac{\pi}{4}$ 时，$l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的交点分别为 $A_1$，$B_1$，当 $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ 时，$l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的交点分别为 $A_2$，$B_2$，求四边形 $A_1A_2B_2B_1$ 的面积.