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01复数★☆☆☆☆
若 aa 为正实数，i\mathrm{i} 为虚数单位，∣a+ii∣=2\left|\frac{a + \mathrm{i}}{\mathrm{i}}\right| = 2，则 a=a =（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
11

2011 · 辽宁 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 MM，NN 为集合 II 的非空真子集，且 MM，NN 不相等，若 N∩∁IM=∅N \cap \complement_I M = \varnothing，则 M∪N=M \cup N =（ ）
A.
MM
B.
NN
C.
II
D.
∅\varnothing

2011 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
已知 FF 是抛物线 y2=xy^{2} = x 的焦点，AA，BB 是该抛物线上的两点，∣AF∣+∣BF∣=3|AF| + |BF| = 3，则线段 ABAB 的中点到 yy 轴的距离为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
11
C.
54\frac{5}{4}
D.
74\frac{7}{4}

2011 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，并且有 asin⁡Asin⁡B+bcos⁡2A=2aa \sin A \sin B + b \cos^2 A = \sqrt{2} a，则 ba=\frac{b}{a} =（ ）
A.
232 \sqrt{3}
B.
222 \sqrt{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
2\sqrt{2}

2011 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
从 1， 2， 3， 4， 5 中任取 2 个不同的数，事件 A=A = “取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B=B = “取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B∣A)=P(B \mid A) =（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
14\frac{1}{4}
C.
25\frac{2}{5}
D.
12\frac{1}{2}

2011 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
执行下面的程序框图，如果输入的 nn 是 4，则输出的 pp 是（ ）
A.
88
B.
55
C.
33
D.
22

2011 · 辽宁 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
设 sin⁡(π4+θ)=13\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{1}{3}，则 sin⁡2θ=\sin 2\theta =（ ）
A.
−79-\frac{7}{9}
B.
−19-\frac{1}{9}
C.
19\frac{1}{9}
D.
79\frac{7}{9}

2011 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 的底面为正方形，SD⊥SD \perp 底面 ABCDABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
AC⊥SBAC \perp SB
B.
AB∥AB\parallel 平面 SCDSCD
C.
SASA 与平面 SBDSBD 所成的角等于 SCSC 与平面 SBDSBD 所成的角
D.
ABAB 与 SCSC 所成的角等于 DCDC 与 SASA 所成的角

2011 · 辽宁 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={21−x,x⩽1,1−log⁡2x,x>1,f(x) = \begin{cases} 2^{1 - x}, & x \leqslant 1,\\ 1 - \log_2 x, & x > 1, \end{cases}
则满足 f(x)⩽2f(x) \leqslant 2 的 xx 取值范围是（ ）
A.
[−1,2][-1,2]
B.
[0,2][0,2]
C.
[1,+∞)[1,+\infty)
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2011 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
若 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 均为单位向量，且 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，(a−c)⋅(b−c)⩽0(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}) \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) \leqslant 0，则 ∣a+b−c∣\lvert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} \rvert 的最大值为（ ）
A.
2−1\sqrt{2} - 1
B.
11
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2011 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(−1)=2f(-1) = 2，对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，f′(x)>2f'(x) > 2，则 f(x)>2x+4f(x) > 2x + 4 的解集为（ ）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
C.
(−∞,−1)(-\infty,-1)
D.
(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

2011 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知球的直径 SC=4SC = 4，AA，BB 是该球球面上的两点，AB=3AB = \sqrt{3}，∠ASC=∠BSC=30∘\angle ASC = \angle BSC = 30^\circ，则棱锥 S−ABCS - ABC 的体积为（ ）
A.
333\sqrt{3}
B.
232\sqrt{3}
C.
3\sqrt{3}
D.
11

2011 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
已知点 (2,3)(2,3) 在双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）上，CC 的焦距为 4，则它的离心率为______.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
调查了某地若干户家庭的年收入 xx （单位：万元） 和年饮食支出 yy （单位：万元），调查显示年收入 xx 与年饮食支出 yy 具有线性相关关系. 并由调查数据得到 yy 对 xx 的回归直线方程： y^=0.254x+0.321\hat{y} = 0.254x + 0.321. 由回归直线方程可知，家庭收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加______ 万元.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 232 \sqrt{3}，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是______

2011 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Atan⁡(ωx+φ)f(x) = A \tan (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，∣φ∣<π2|\varphi| < \frac{\pi}{2}），y=f(x)y = f(x) 的部分图象如图，则 f(π24)=f\left(\frac{\pi}{24}\right) =______.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a2=0a_{2} = 0，a6+a8=−10a_{6} + a_{8} = -10.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {an2n−1}\left\{\frac{a_{n}}{2^{n-1}}\right\} 的前 nn 项和.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，PD∥QAPD \parallel QA，QA=AB=12PDQA = AB = \frac{1}{2} PD.
(1) 证明：平面 PQC⊥PQC \perp 平面 DCQDCQ； (2) 求二面角 Q−BP−CQ - BP - C 的余弦值.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地. 每大块地分成 nn 小块地. 在总共 2n2n 小块地中，随机选 nn 小块地种植品种甲，另外 nn 小块地种植品种乙.
(1) 假设 n=4n = 4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 XX，求 XX 的分布列和数学期望. (2) 试验时每大块地分成 88 小块，即 n=8n = 8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量 （单位： kg/hm2\mathrm{kg/hm^2}）如下表：
分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种？
附：样本数据 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的样本方差 s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^{2} = \frac{1}{n}[(x_{1} - \overline{x})^{2} + (x_{2} - \overline{x})^{2} + \cdots + (x_{n} - \overline{x})^{2}]，其中 x‾\overline{x} 为样本平均数.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x−ax2+(2−a)xf(x) = \ln x - ax^2 + (2 - a)x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a>0a > 0，证明：当 0<x<1a0 < x < \frac{1}{a} 时，f(1a+x)>f(1a−x)f\left(\frac{1}{a} + x\right) > f\left(\frac{1}{a} - x\right)； (3) 若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与 xx 轴交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 中点的横坐标为 x0x_0，证明：f′(x0)<0f'(x_0) < 0.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 的中心在原点 OO，长轴左，右端点 MM，NN 在 xx 轴上，椭圆 C2C_2 的短轴为 MNMN，且 C1C_1，C2C_2 的离心率都为 ee. 直线 l⊥MNl \perp MN，ll 与 C1C_1 交于两点，与 C2C_2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD.
(1) 设 e=12e = \frac{1}{2}，求 ∣BC∣|BC| 与 ∣AD∣|AD| 的比值. (2) 当 ee 变化时，是否存在直线 ll，使得 BO∥ANBO \parallel AN，并说明理由.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，AA，BB，CC，DD 四点在同一圆上，ADAD 的延长线与 BCBC 的延长线交于 EE 点，且 EC=EDEC = ED.
(1) 证明： CD∥ABCD \parallel AB； (2) 延长 CDCD 到 FF，延长 DCDC 到 GG，使得 EF=EGEF = EG，证明： AA，BB，GG，FF 四点共圆.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=cos⁡φ,y=sin⁡φ.\begin{cases} x = \cos \varphi,\\ y = \sin \varphi. \end{cases}
（φ\varphi 为参数）. 曲线 C2C_2 的参数方程为
{x=acos⁡φ,y=bsin⁡φ,\begin{cases} x = a\cos \varphi,\\ y = b\sin \varphi, \end{cases}
（a>b>0a > b > 0，φ\varphi 为参数）. 在以 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l:θ=αl: \theta = \alpha 与 C1C_1，C2C_2 各有一个交点. 当 α=0\alpha = 0 时，这两个交点间的距离为 2，当 α=π2\alpha = \frac{\pi}{2} 时，这两个交点重合.
(1) 分别说明 C1C_1，C2C_2 是什么曲线，并求出 aa 与 bb 的值； (2) 设当 α=π4\alpha = \frac{\pi}{4} 时，ll 与 C1C_1，C2C_2 的交点分别为 A1A_1，B1B_1，当 α=−π4\alpha = -\frac{\pi}{4} 时，ll 与 C1C_1，C2C_2 的交点分别为 A2A_2，B2B_2，求四边形 A1A2B2B1A_1A_2B_2B_1 的面积.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣−∣x−5∣f(x) = |x - 2| - |x - 5|.
(1) 证明： −3⩽f(x)⩽3-3 \leqslant f(x) \leqslant 3. (2) 求不等式 f(x)⩾x2−8x+15f(x) \geqslant x^{2} - 8x + 15 的解集.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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