(1) 利用对数性质，计算 $\lg^{2}5+\lg2\cdot\lg50$. （注）$\lg$ 是以 $10$ 为底的对数 $\log_{10}$ 的记号. (2) 设 $m$ 是实数，求证方程 $2x^{2}-\left(4m-1\right)x-m^{2}-m=0$ 的两个根必定都是实数. (3) 设 $M$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $AC$ 的中点，过 $M$ 作直线交 $AB$ 直线于 $E$，过 $B$ 作直线平行于 $ME$ 交 $AC$ 直线于 $F$. 求证 $\triangle AEF$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 的面积的一半. (4) 一个三角形三边的长分别是 $3\text{ 尺}$，$4\text{ 尺}$ 及 $\sqrt{37}\text{ 尺}$. 求这个三角形的最大角的度数. (5) 设 $\tan\alpha$ 与 $\tan\beta$ 是方程 $x^{2}+6x+7=0$ 的两个根，求证 $\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\left(\alpha+\beta\right)$.

若三角形的三个角成等差级数，则其中一定有一个角是 $60^{\circ}$；若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是 $60^{\circ}$，试证明之.