有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示. 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为 $2$，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过 $39$，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）

数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$ 且 $8a_{n + 1}a_n - 16a_{n + 1} + 2a_n + 5 = 0$（$n \geqslant 1$）. 记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - \frac{1}{2}}$（$n \geqslant 1$）.

(1) 求 $b_{1}$，$b_{2}$，$b_{3}$，$b_{4}$ 的值； (2) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式及数列 $\{a_n b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $a_1=1$ 得 $b_1=\frac1{1-\frac12}=2$. 由递推式解出 $a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{16-8a_n}$，从而 $a_{n+1}-\frac12=\frac{3(2a_n-1)}{8(2-a_n)}$. 由 $a_1\neq\frac12$，且上式表明只要 $a_n\neq\frac12$，$2$ 就有 $a_{n+1}\neq\frac12$；而 $a_n=2$ 会使原递推式变为 $9=0$，不可能，所以归纳可知各项 $a_n\neq\frac12$. 因而代入 $b_n=\frac1{a_n-\frac12}$ 可得 $b_{n+1}=2b_n-\frac43$. 于是 $b_2=2\times2-\frac43=\frac83$，$b_3=2\times\frac83-\frac43=4$，$b_4=2\times4-\frac43=\frac{20}{3}$. \item 令 $c_n=b_n-\frac43$，则 $c_{n+1}=2c_n$，且 $c_1=\frac23$，所以 $c_n=\frac23\,2^{n-1}=\frac{2^n}{3}$，从而 $b_n=\frac{2^n+4}{3}$. 又由 $b_n=\frac1{a_n-\frac12}$ 得 $a_n=\frac12+\frac1{b_n}$，故 $a_nb_n=\frac{b_n}{2}+1=\frac{2^n+10}{6}$. 因此 $S_n=\sum_{i=1}^n a_ib_i=\frac16\left(\sum_{i=1}^n2^i+10n\right)=\frac16\left(2^{n+1}-2+10n\right)=\frac{2^n+5n-1}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}