已知 $x\geqslant \frac{5}{2}$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 有（ ）

直线 $l: y=kx+1$ 与双曲线 $C: 2x^2-y^2=1$ 的右支交于不同的两点 $A$，$B$.

(1) 求实数 $k$ 的取值范围； (2) 是否存在实数 $k$，使得以线段 $AB$ 为直径的圆经过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$？ 若存在，求出 $k$ 的值. 若不存在，说明理由.