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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U=RU = \mathbf{R}，A={x∣x⩽0}A = \{x \mid x \leqslant 0\}，B={x∣x⩾1}B = \{x \mid x \geqslant 1\}，则集合 ∁U(A∪B)=\complement_{U}(A \cup B)=（ ）
A.
{x∣x⩾0}\{x \mid x \geqslant 0\}
B.
{x∣x⩽1}\{x\mid x\leqslant 1\}
C.
{x∣0⩽x⩽1}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 1\}
D.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0 < x < 1\}

2014 · 辽宁 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 (z−2i)(2−i)=5(z - 2\mathrm{i})(2 - \mathrm{i}) = 5，则 z=z =（ ）
A.
2+3i2 + 3\mathrm{i}
B.
2−3i2 - 3\mathrm{i}
C.
3+2i3 + 2\mathrm{i}
D.
3−2i3 - 2\mathrm{i}

2014 · 辽宁 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=2−13a = 2^{-\frac{1}{3}}，b=log⁡213b = \log_{2} \frac{1}{3}，c=log⁡1213c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}，则（ ）
A.
a>b>ca > b > c
B.
a>c>ba > c > b
C.
c>a>bc > a > b
D.
c>b>ac > b > a

2014 · 辽宁 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
已知 mm，nn 表示两条不同直线，α\alpha 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A.
若 m∥α,n∥αm \parallel \alpha, n \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n
B.
若 m⊥αm \perp \alpha，n⊂αn \subset \alpha，则 m⊥nm \perp n
C.
若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥nm \perp n，则 n∥αn \parallel \alpha
D.
若 m∥αm \parallel \alpha，m⊥nm \perp n，则 n⊥αn \perp \alpha

2014 · 辽宁 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，bb，cc 是非零向量，已知命题 pp：若 a⋅b=0a \cdot b = 0，b⋅c=0b \cdot c = 0，则 a⋅c=0a \cdot c = 0；命题 qq：若 a∥ba \parallel b，b∥cb \parallel c，则 a∥ca \parallel c，则下列命题中的真命题是（ ）
A.
p∨qp \vee q
B.
p∧qp \wedge q
C.
(¬p)∧(¬q)(\neg p) \wedge (\neg q)
D.
p∨(¬q)p \vee (\neg q)

2014 · 辽宁 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCDABCD 中，其中 AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，则质点落在以 ABAB 为直径的半圆内的概率是（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π6\frac{\pi}{6}
D.
π8\frac{\pi}{8}

2014 · 辽宁 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
8−π48 - \frac{\pi}{4}
B.
8−π28 - \frac{\pi}{2}
C.
8−π8 - \pi
D.
8−2π8 - 2\pi

2014 · 辽宁 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知点 A(−2,3)A(-2,3) 在抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px 的准线上，记 CC 的焦点为 FF，则直线 AFAF 的斜率为（ ）
A.
−43-\frac{4}{3}
B.
−1-1
C.
−34-\frac{3}{4}
D.
−12-\frac{1}{2}

2014 · 辽宁 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，若数列 {2a1an}\{2^{a_{1}a_{n}}\} 为递减数列，则（ ）
A.
d<0d < 0
B.
d>0d > 0
C.
a1d>0a_{1}d > 0
D.
a1d<0a_{1}d < 0

2014 · 辽宁 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 为偶函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，
f(x)={cos⁡πx,x∈[0,12],2x−1,x∈(12,+∞).f(x) = \begin{cases} \cos \pi x, & x \in \left[0, \frac{1}{2}\right],\\ 2x - 1, & x \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right). \end{cases}
则不等式 f(x−1)⩽12f(x - 1)\leqslant \frac{1}{2} 的解集为（ ）
A.
[14,23]∪[43,74]\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{4}{3}, \frac{7}{4}\right]
B.
[−34,−13]∪[14,23]\left[-\frac{3}{4}, -\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]
C.
[13,34]∪[43,74]\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{4}{3}, \frac{7}{4}\right]
D.
[−34,−13]∪[13,34]\left[-\frac{3}{4}, -\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \frac{3}{4}\right]

2014 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
将函数 y=3sin⁡(2x+π3)y = 3\sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) 的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A.
在区间 [π12,7π12]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right] 上单调递减
B.
在区间 [π12,7π12]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right] 上单调递增
C.
在区间 [−π6,π3]\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right] 上单调递减
D.
在区间 [−π6,π3]\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right] 上单调递增

2014 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
当 x∈[−2,1]x \in [-2, 1] 时，不等式 ax3−x2+4x+3⩾0ax^3 - x^2 + 4x + 3 \geqslant 0 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−5,−3][-5, - 3]
B.
[−6,−98]\left[-6, -\frac{9}{8}\right]
C.
[−6,−2][-6, - 2]
D.
[−4,−3][-4, - 3]

2014 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，若输入 n=3n = 3，则输出 T=‾T =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足条件
{2x+y−2⩾0,x−2y+4⩾0,3x−y−3⩽0,\begin{cases} 2x + y - 2 \geqslant 0,\\ x - 2y + 4 \geqslant 0,\\ 3x - y - 3 \leqslant 0, \end{cases}
则目标函数 z=3x+4yz = 3x + 4y 的最大值为______.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x29+y24=1C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1，点 MM 与 CC 的焦点不重合，若 MM 关于 CC 的焦点的对称点分别为 AA，BB，线段 MNMN 的中点在 CC 上，则 ∣AN∣+∣BN∣=‾|AN| + |BN| =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★★★
对于 c>0c > 0，当非零实数 aa，bb 满足 4a2−2ab+b2−c=04a^2 - 2ab + b^2 - c = 0 且使 ∣2a+b∣|2a + b| 最大时，1a+2b+4c\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} 的最小值为______.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a>ca > c，已知 BA→⋅BC→=2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2，cos⁡B=13\cos B = \frac{1}{3}，b=3b = 3. 求：
(1) aa 和 cc 的值； (2) cos⁡(B−C)\cos(B-C) 的值.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品不喜欢甜品合计
北方学生101020
合计7030100
(1) 根据表中数据，问是否有 95% 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； (2) 已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率.
附：
χ2=n(n11n22−n12n21)2n1+n2+n+1n+2\displaystyle \chi^2 = \frac{n\left(n_{11}n_{22} - n_{12}n_{21}\right)^2}{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}，
P(χ2⩾k)P(\chi^2 \geqslant k)0.1000.1000.0500.0500.0100.010

2014 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 和 △BCD\triangle BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2AB = BC = BD = 2，∠ABC=∠DBC=120∘\angle ABC = \angle DBC = 120^{\circ}，EE，FF，GG 分别为 ACAC，DCDC，ADAD 的中点. 附：锥体的体积公式 V=13ShV = \frac{1}{3} Sh，其中 SS 为底面面积，hh 为高.
(1) 求证：EF⊥EF \perp 平面 BCGBCG； (2) 求三棱锥 D−BCGD - BCG 的体积.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
圆 x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 的切线与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 PP（如图）.
(1) 求点 PP 的坐标； (2) 焦点在 xx 轴上的椭圆 CC 过点 PP，且与直线 l:y=x+3l: y = x + \sqrt{3} 交于 AA，BB 两点，若 △PAB\triangle PAB 的面积为 22，求 CC 的标准方程.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=π(x−cos⁡x)−2sin⁡x−2f(x) = \pi (x - \cos x) - 2\sin x - 2，g(x)=(x−π)1−sin⁡x1+sin⁡x+2xπ−1g(x) = (x - \pi)\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} + \frac{2x}{\pi} - 1.
(1) 证明：存在唯一 x0∈(0,π2)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，使 f(x0)=0f(x_0) = 0； (2) 证明：存在唯一 x1∈(π2,π)x_1 \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，使 g(x1)=0g(x_1) = 0，且对上一问中的 x0x_0，有 x0+x1>πx_0 + x_1 > \pi.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，EPEP 交圆于 EE，CC 两点，PDPD 切圆于 DD，GG 为 CECE 上一点且 PG=PDPG = PD，连接 DGDG 并延长交圆于点 AA，作弦 ABAB 垂直 EPEP，垂足为 FF.
(1) 求证：ABAB 为圆的直径； (2) 若 AC=BDAC = BD，求证：AB=EDAB = ED.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
将圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 CC.
(1) 写出 CC 的参数方程； (2) 设直线 l:2x+y−2=0l: 2x + y - 2 = 0 与 CC 的交点为 P1P_1，P2P_2，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2P_1P_2 的中点且与 ll 垂直的直线的极坐标方程.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=2∣x−1∣+x−1f(x) = 2|x - 1| + x - 1，g(x)=16x2−8x+1g(x) = 16x^{2} - 8x + 1，记 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1 的解集为 MM，g(x)⩽4g(x) \leqslant 4 的解集为 NN.
(1) 求 MM； (2) 当 x∈M∩Nx \in M \cap N 时，证明：x2f(x)+x[f(x)]2⩽14x^2 f(x) + x[f(x)]^2 \leqslant \frac{1}{4}.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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