已知点 $P(x, y)$ 在不等式组 表示的平面区域上运动，则 $z = x - y$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由 $x+2y-2\geqslant0$ 得 $x\geqslant2-2y$，再结合 $x\leqslant2$，可知 $y\geqslant0$. 因而区域可写为 $0\leqslant y\leqslant1$，$2-2y\leqslant x\leqslant2$. 对固定的 $y$，有 $2-3y\leqslant x-y\leqslant2-y$. 当 $0\leqslant y\leqslant1$ 时，左端的最小值为 $-1$，右端的最大值为 $2$，所以 $z$ 不超出 $[-1,2]$. 又边界线段 $x=2-2y$，$0\leqslant y\leqslant1$ 完全位于该区域内，且其上 $z=2-3y$ 连续取得从 $-1$ 到 $2$ 的所有值，故 $z$ 的取值范围为 $[-1,2]$，选 C. \end{solution}

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的右焦点为 $F$，右准线与一条渐近线交于点 $A$，$\triangle OAF$ 的面积为 $\frac{a^2}{2}$（$O$ 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 记双曲线的焦半距为 $c$，则 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，右准线为 $x=\frac{a^2}{c}$，一条渐近线为 $y=\frac{b}{a}x$. 因而其交点可取 $A=\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$，右焦点为 $F=(c,0)$. 所以

由题设 $\frac{ab}{2}=\frac{a^2}{2}$，且 $a>0$，得 $b=a$. 此时两条渐近线的斜率为 $1$ 和 $-1$，互相垂直，夹角为 $90^{\circ}$，故选 D. \end{solution}

已知直线 $ax + by + c = 0$ 与圆 $O: x^2 + y^2 = 1$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且 $|AB| = \sqrt{3}$，则 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =$______.

\begin{answer} $-\frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $\theta=\angle AOB$. 由 $|OA|=|OB|=1$ 及弦长公式， 代入 $|AB|^2=3$，得 $\cos\theta=-\frac12$. 因此 \end{solution}

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $e$. 直线 $l: y = ex + a$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$，$M$ 是直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个公共点，$P$ 是点 $F_1$ 关于直线 $l$ 的对称点. 设 $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AB}$.

(1) 证明：$\lambda=1-e^{2}$； (2) 确定 $\lambda$ 的值，使得 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 是等腰三角形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率定义，$e=\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}$，所以 $b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$，且 $0<e<1$. 直线 $l$ 与坐标轴的交点为 $A=\left(-\dfrac{a}{e},0\right)$、$B=(0,a)$，故

由 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，得 $M=\left(\dfrac{a(\lambda-1)}{e},a\lambda\right)$. 将其代入椭圆方程，得

两边乘以 $e^{2}(1-e^{2})$，化简得

即 $\left[\lambda-(1-e^{2})\right]^{2}=0$. 因此 $\lambda=1-e^{2}$.

\item 椭圆的两个焦点为 $F_{1}=(-ae,0)$、$F_{2}=(ae,0)$，直线 $l$ 的方程可写为 $ex-y+a=0$. 点 $F_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为

由于 $P$ 是 $F_{1}$ 关于 $l$ 的对称点，所以 $PF_{1}=2d=\dfrac{2a(1-e^{2})}{\sqrt{1+e^{2}}}$，而 $F_{1}F_{2}=2ae$. 又 $\overrightarrow{F_{1}P}$ 的方向为 $(-e,1)$，$\overrightarrow{F_{1}F_{2}}=(2ae,0)$，两向量的内积为负，因此 $\angle PF_{1}F_{2}$ 是钝角. 等腰三角形的钝角只能是顶角，故若 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 为等腰三角形，必须有 $PF_{1}=F_{1}F_{2}$. 于是

即 $(1-e^{2})^{2}=e^{2}(1+e^{2})$. 化简得 $1-3e^{2}=0$. 因为 $e>0$，所以 $e=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，从而

\end{enumerate} \end{solution}