函数 $f(x) = \sqrt{1 - 2^x}$ 的定义域是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 根式有意义的充要条件是 $1-2^x\geqslant0$，即 $2^x\leqslant1=2^0$. 因为指数函数 $2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，所以 $x\leqslant0$，故选 A. \end{solution}

设 $f_0(x) = \sin x$，$f_1(x) = f_0'(x)$，$f_2(x) = f_1'(x)$，$\cdots$，$f_{n+1}(x) = f_n'(x)$，$n \in \mathbf{N}$，则 $f_{2005}(x) =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 连续求导得到 $f_0(x)=\sin x$、$f_1(x)=\cos x$、$f_2(x)=-\sin x$、$f_3(x)=-\cos x$、$f_4(x)=\sin x$，以后每四次循环一次. 由于 $2005=4\times501+1$，所以 $f_{2005}(x)=f_1(x)=\cos x$，故选 C. \end{solution}

设函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称，且存在反函数 $f^{-1}(x)$，$f(4) = 0$，则 $f^{-1}(4) =$______.

\begin{answer} $-2$ \end{answer}

\begin{solution} 图象关于点 $(1,2)$ 对称，意味着图象上的点 $(x,y)$ 关于该点的对称点 $(2-x,4-y)$ 仍在图象上. 因为 $f(4)=0$，所以 $(4,0)$ 在图象上，其对称点 $(-2,4)$ 也在图象上，即 $f(-2)=4$. 由于反函数存在，故 $f^{-1}(4)=-2$. \end{solution}