一工厂生产了某种产品 $16800$ 件，它们来自甲、乙、丙 $3$ 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了______件产品.

\begin{answer} $5600$ \end{answer}

\begin{solution} 分层抽样按各生产线产品总数的比例抽取，所以三条生产线的产品总数与抽取的个体数成相同比例. 因而三条生产线的产品总数也组成等差数列. 设三条生产线的产品总数为 $N_1$，$N_2$，$N_3$，则 $N_2$ 是三项等差数列的中项，满足 又 $N_1+N_2+N_3=16800$，所以 $N_2=5600$. \end{solution}

某城市有甲、乙、丙 $3$ 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是$0.4$，$0.5$，$0.6$，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 $\xi$ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(1) 求 $\xi$ 的分布及数学期望； (2) 记“函数 $f(x)=x^{2}-3\xi x+1$ 在区间 $[2,+\infty)$ 上单调递增”为事件 $A$，求事件 $A$ 的概率.

\begin{solution} 设 $K$ 表示游览的景点数，则 $\xi=\lvert K-(3-K)\rvert=\lvert2K-3\rvert$. 由三个景点的游览相互独立，得

当 $K=1$ 或 $K=2$ 时，$\xi=1$；当 $K=0$ 或 $K=3$ 时，$\xi=3$. 所以 $\xi$ 的分布为 $P(\xi=1)=0.38+0.38=0.76$，$P(\xi=3)=0.12+0.12=0.24$，其余取值的概率均为 $0$. 从而

对固定的 $\xi$，有 $f'(x)=2x-3\xi$. 函数在 $[2,+\infty)$ 上单调递增，当且仅当对任意 $x\geqslant2$ 都有 $f'(x)\geqslant0$，这等价于 $f'(2)=4-3\xi\geqslant0$，即 $\xi\leqslant\dfrac{4}{3}$. 由于 $\xi$ 只能取 $1$ 或 $3$，事件 $A$ 等价于 $\{\xi=1\}$，故 $P(A)=0.76$. \end{solution}