已知数列 $\left\{\log_2(a_n - 1)\right\}$（$n \in \mathbf{N}^*$）为等差数列，且 $a_1 = 3$，$a_2 = 5$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{a_2 - a_1} + \frac{1}{a_3 - a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{n+1} - a_n}\right) =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 令 $u_n=\log_2(a_n-1)$. 由题意，$u_n$ 是等差数列，且 $u_1=\log_2 2=1$，$u_2=\log_2 4=2$，所以公差为 $1$，从而 $u_n=n$，即 $a_n=2^n+1$. 因此 $a_{k+1}-a_k=2^k$，故

故选 C. \end{solution}

一工厂生产了某种产品 $16800$ 件，它们来自甲、乙、丙 $3$ 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了______件产品.

\begin{answer} $5600$ \end{answer}

\begin{solution} 分层抽样按各生产线产品总数的比例抽取，所以三条生产线的产品总数与抽取的个体数成相同比例. 因而三条生产线的产品总数也组成等差数列. 设三条生产线的产品总数为 $N_1$，$N_2$，$N_3$，则 $N_2$ 是三项等差数列的中项，满足 又 $N_1+N_2+N_3=16800$，所以 $N_2=5600$. \end{solution}

自然状态下的鱼类是一种可再生资源. 为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 $x_{n}$ 表示某鱼群在第 $n$ 年年初的总量，$n \in \mathbf{N}^{*}$，且 $x_{1} > 0$. 不考虑其它因素，设在第 $n$ 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 $x_{n}$ 成正比，死亡量与 $x_{n}^{2}$ 成正比，这些比例系数依次为正常数 $a$，$b$，$c$.

(1) 求 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的关系式； (2) 猜测：当且仅当 $x_{1}$，$a$，$b$，$c$ 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） (3) 设 $a = 2$，$b = 1$，为保证对任意 $x_{1} \in (0,2)$，都有 $x_n > 0$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，则捕捞强度 $b$ 的最大允许值是多少？证明你的结论.

\begin{solution} 题面第三问同时写出“$a=2$，$b=1$”并要求求捕捞强度 $b$ 的最大允许值，按字面理解时 $b$ 已被固定，因而不存在待求的最大值. 以下先给出前两问的结论，并在第三问中说明与“求 $b$ 的最大值”相容的通常解释.

\begin{enumerate} \item 第 $n$ 年内鱼群的繁殖量、捕捞量和死亡量分别为 $ax_n$、$bx_n$ 和 $cx_n^{2}$，所以

\item 若每年年初鱼群总量保持不变，则 $x_{n+1}=x_n=x_1$. 由上式和 $x_1>0$，应满足

即 $a-b-cx_1=0$. 因为 $c>0$ 且 $x_1>0$，这等价于 $a>b$ 且 $x_1=\dfrac{a-b}{c}$.

\item 若严格保留题面中已给出的 $b=1$，则捕捞强度已确定为 $1$，第三问没有关于 $b$ 的最大值问题. 若按题意将该题理解为已给 $a=2$、$c=1$，而把 $b$ 作为待求的捕捞强度，则递推式为

为使任意 $x_1\in(0,2)$ 都有 $x_2>0$，必须对任意 $x_1\in(0,2)$ 有 $3-b-x_1>0$. 若 $b>1$，可取 $x_1\in(\max\{3-b,0\},2)$，则 $3-b-x_1<0$，从而 $x_2<0$，不符合要求. 因此必有 $b\leqslant1$.

当 $b=1$ 时，递推式为 $x_{n+1}=x_n(2-x_n)$. 用数学归纳法证明 $0<x_n<2$. 当 $n=1$ 时结论由条件成立. 假设 $0<x_k<2$，则

并且 $x_{k+1}=1-(x_k-1)^2\leqslant1<2$，所以 $0<x_{k+1}<2$. 归纳可得任意 $n\in\mathbf{N}^{*}$ 都有 $x_n>0$. 因此在这一相容解释下，捕捞强度 $b$ 的最大允许值为 $1$. \end{enumerate} \end{solution}