设函数 $f(x)$ 的图象与直线 $x = a$，$x = b$ 及 $x$ 轴所围成图形的面积称为函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的面积. 已知函数 $y = \sin nx$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{n}\right]$ 上的面积为 $\frac{2}{n}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) $y = \sin 3x$ 在 $\left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$ 上的面积为______； (2) $y = \sin (3x - \pi) + 1$ 在 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right]$ 上的面积为______.

\begin{answer} $\frac{4}{3}$，$\pi + \frac{2}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 第一问中令 $t=3x$，则 $t$ 从 $0$ 变到 $2\pi$，故所求面积为

第二问中令 $t=3x-\pi$，则 $t$ 从 $0$ 变到 $3\pi$. 因为 $\sin t+1\geqslant0$，所求面积就是曲线与 $x$ 轴之间的积分： \end{solution}

已知在 $\triangle ABC$ 中，$\sin A (\sin B + \cos B) - \sin C = 0$，$\sin B + \cos 2C = 0$，求角 $A$、$B$、$C$ 的大小.

\begin{solution} 因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\sin C=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$. 代入第一个等式，得

即 $\sin B(\sin A-\cos A)=0$. 三角形内角满足 $0<B<\pi$，故 $\sin B>0$，从而 $\sin A=\cos A$. 又 $0<A<\pi$，所以 $A=\dfrac{\pi}{4}$，进而 $C=\dfrac{3\pi}{4}-B$.

将此关系代入第二个等式，得 $\sin B+\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-2B\right)=0$，即 $\sin B-\sin 2B=0$. 因此 $\sin B(1-2\cos B)=0$. 由于 $\sin B>0$，故 $\cos B=\dfrac{1}{2}$，从而 $B=\dfrac{\pi}{3}$，$C=\pi-A-B=\dfrac{5\pi}{12}$. \end{solution}