设常数 $a \geqslant 0$，函数 $f(x) = \frac{2^x + a}{2^x - a}$.

(1) 若 $a = 4$，求函数 $y = f(x)$ 的反函数 $y = f^{-1}(x)$； (2) 根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y = f(x)$ 的奇偶性，并说明理由.