设无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$，若 $a_{1} = \displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})$，则 $q =$______.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{1} = 1$.

(1) 若 $a_{2} = 2$，$a_{3} = x$，$a_{4} = 9$，求 $x$ 的取值范围； (2) 设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$. 若 $\frac{1}{3} S_{n} \leqslant S_{n+1} \leqslant 3S_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，求 $q$ 的取值范围； (3) 若 $a_{1}$，$a_{2}$，$\cdots$，$a_{k}$ 成等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k} = 1000$，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时相应数列 $a_{1}$，$a_{2}$，$\cdots$，$a_{k}$ 的公差.