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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣−2<x<1}A = \{x \mid -2 < x < 1\}，B={x∣0<x<2}B = \{x \mid 0 < x < 2\}，则集合 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{x∣−1<x<1}\{x \mid -1 < x < 1\}
B.
{x∣−2<x<1}\{x\mid -2 < x < 1\}
C.
{x∣−2<x<2}\{x\mid -2 < x < 2\}
D.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0 < x < 1\}

2010 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 z1=1+iz_1 = 1 + \mathrm{i}，z2=3−iz_2 = 3 - \mathrm{i}，则 z1⋅z2=z_1 \cdot z_2 =（ ）
A.
4+2i4 + 2\mathrm{i}
B.
2+i2 + \mathrm{i}
C.
2+2i2 + 2\mathrm{i}
D.
3+i3 + \mathrm{i}

2010 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=3x+3−xf(x) = 3^x + 3^{-x} 与 g(x)=3x−3−xg(x) = 3^x - 3^{-x} 的定义域均为 R\mathbf{R}，则（ ）
A.
f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 均为偶函数
B.
f(x)f(x) 为偶函数，g(x)g(x) 为奇函数
C.
f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 均为奇函数
D.
f(x)f(x) 为奇函数，g(x)g(x) 为偶函数

2010 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 为等比数列，SnS_{n} 是它的前 nn 项和；若 a2⋅a3=2a1a_{2} \cdot a_{3} = 2a_{1}，且 a4a_{4} 与 2a72a_{7} 的等差中项为 54\frac{5}{4}，则 S5=S_{5} =（ ）
A.
35
B.
33
C.
31
D.
29

2010 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
“ m<14m < \frac{1}{4} ”是一元二次方程 x2+x+m=0x^{2} + x + m = 0 有实数解的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
充分必要条件
C.
必要非充分条件
D.
非充分非必要条件

2010 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 为正三角形. AA′∥BB′∥CC′AA' \parallel BB' \parallel CC'，CC′⊥CC' \perp 平面 ABCABC，且 3AA′=32BB′=CC′=AB3AA' = \frac{3}{2} BB' = CC' = AB，则多面体 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C' 的正视图（也称主视图）是（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
已知随机变量 XX 服从正态分布 N(3,1)N(3,1)，且 P(2⩽X⩽4)=0.6826P(2 \leqslant X \leqslant 4) = 0.6826，则 P(X>4)=P(X > 4) =（ ）
A.
0.1588
B.
0.1587
C.
0.1586
D.
0.1585

2010 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
为了迎接 2010 年广州亚运会，某大楼安装 5 个5\text{ 个} 彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红，橙，黄，绿，蓝中的一种颜色，且这 5 个5\text{ 个} 彩灯所闪亮的颜色各不相同. 记这 5 个5\text{ 个} 彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒5\text{ 秒}. 如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）
A.
1205 秒1205\text{ 秒}
B.
1200 秒1200\text{ 秒}
C.
1195 秒1195\text{ 秒}
D.
1190 秒1190\text{ 秒}

2010 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡(x−2)f(x)=\lg(x-2) 的定义域是______.

2010 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(1,1,x)\boldsymbol{a} = (1, 1, x)，b=(1,2,1)\boldsymbol{b} = (1, 2, 1)，c=(1,1,1)\boldsymbol{c} = (1, 1, 1)，满足条件 (c−a)⋅(2b)=−2(\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) \cdot (2\boldsymbol{b}) = -2，则 x=x=______.

2010 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边. 若 a=1a = 1，b=3b = \sqrt{3}，A+C=2BA + C = 2B，则 sin⁡C=\sin C =______.

2010 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
若圆心在 xx 轴上，半径为 2\sqrt{2} 的圆 OO 位于 yy 轴左侧，且与直线 x+y=0x + y = 0 相切，则圆 OO 的方程是______.

2010 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 nn 位居民的月均用水量分别为 x1x_{1}，⋯\cdots，xnx_{n} （单位：吨\text{吨}）. 根据如图所示的程序框图，若 n=2n = 2，且 x1x_{1}，x2x_{2} 分别为 11，22，则输出的结果 ss 为______.

2010 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
如图，ABAB，CDCD 是半径为 aa 的圆 OO 的两条弦，它们相交于 ABAB 的中点 PP，PD=2a3PD = \frac{2a}{3}，∠OAP=30∘\angle OAP = 30^\circ，则 CP=CP =______.

2010 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
在极坐标系 (ρ,θ)(\rho, \theta) （0⩽θ<2π0 \leqslant \theta < 2\pi）中，曲线 ρ=2sin⁡θ\rho = 2\sin \theta 与 ρcos⁡θ=−1\rho \cos \theta = -1 的交点的极坐标为______.

2010 · 广东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(3x+φ)f(x) = A \sin (3x + \varphi) （A>0A > 0，x∈(−∞,+∞)x \in (-\infty, +\infty)，0<φ<π0 < \varphi < \pi） 在 x=π12x = \frac{\pi}{12} 时取得最大值 4.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的解析式； (3) 若 f(23α+π12)=125f\left(\frac{2}{3}\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{12}{5}，求 sin⁡α\sin \alpha.

2010 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况. 随机抽取该流水线上的 40 件40\text{ 件} 产品作为样本称出它们的重量（单位：克\text{克}）. 重量的分组区间为 (490,495](490, 495]，(495,500](495, 500]，…，(510,515](510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1) 根据频率分布直方图，求重量超过 505 克505\text{ 克} 的产品数量； (2) 在上述抽取的 40 件40\text{ 件} 产品中任取 2 件2\text{ 件}，设 YY 为重量超过 505 克505\text{ 克} 的产品数量，求 YY 的分布列； (3) 从流水线上任取 5 件5\text{ 件} 产品，求恰有 2 件2\text{ 件} 产品合格的重量超过 505 克505\text{ 克} 的概率.

2010 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，AEC^\widehat{AEC} 是半径为 aa 的半圆，ACAC 为直径，点 EE 为 AC^\widehat{AC} 的中点，点 BB 和点 CC 为线段 ADAD 的三等分点，平面 AECAEC 外一点 FF 满足 FB=FD=5aFB = FD = \sqrt{5}a，EF=6aEF = \sqrt{6}a.
(1) 证明： EB⊥FDEB \perp FD； (2) 已知点 QQ，RR 分别为线段 FEFE，FBFB 上的点，使得 FQ=23FEFQ = \frac{2}{3} FE，FR=23FBFR = \frac{2}{3} FB，求平面 BEDBED 与平面 RQDRQD 所成二面角的正弦值.

2010 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知 1 个单位1\text{ 个单位} 的午餐含 12 个单位12\text{ 个单位} 的碳水化合物，6 个单位6\text{ 个单位} 的蛋白质和 6 个单位6\text{ 个单位} 的维生素 C\mathrm C；1 个单位1\text{ 个单位} 的晚餐含 8 个单位8\text{ 个单位} 的碳水化合物，6 个单位6\text{ 个单位} 的蛋白质和 10 个单位10\text{ 个单位} 的维生素 C\mathrm C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位64\text{ 个单位} 的碳水化合物，42 个单位42\text{ 个单位} 的蛋白质和 54 个单位54\text{ 个单位} 的维生素 C\mathrm C. 如果 1 个单位1\text{ 个单位} 的午餐，晚餐的费用分别是 2.5 元2.5\text{ 元} 和 4 元4\text{ 元}，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

2010 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 x22−y2=1\frac{x^2}{2} - y^2 = 1 的左、右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，点 P(x1,y1)P(x_1, y_1)，Q(x1,−y1)Q(x_1, -y_1) 是双曲线上不同的两个动点.
(1) 求直线 A1PA_{1}P 与 A2QA_{2}Q 交点的轨迹 EE 的方程； (2) 若过点 H(0,h)H(0, h)（h>1h > 1）的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 与轨迹 EE 都只有一个交点，且 l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，求 hh 的值.

2010 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
设 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}) 是平面直角坐标系 xOyxOy 上的两点. 现定义由点 AA 到点 BB 的一种折线距离 ρ(A,B)\rho(A,B) 为 ρ(A,B)=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣\rho(A,B) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|. 对于平面 xOyxOy 上给定的不同两点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}).
(1) 若点 C(x,y)C(x, y) 是平面 xOyxOy 上的点，试证明 ρ(A,C)+ρ(C,B)⩾ρ(A,B)\rho(A,C) + \rho(C,B) \geqslant \rho(A,B)； (2) 在平面 xOyxOy 上是否存在点 C(x,y)C(x, y)，同时满足
① ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)\rho(A,C) + \rho(C,B) = \rho(A,B)； ② ρ(A,C)=ρ(C,B)\rho(A,C) = \rho(C,B).
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

2010 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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