设函数 $f(x) = ax^{2} + bx + k$（$k > 0$）在 $x = 0$ 处取得极值，且曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于直线 $x + 2y + 1 = 0$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 若函数 $g(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{f(x)}$，讨论 $g(x)$ 的单调性.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数在 $x=0$ 处取得极值，故 $f'(0)=b=0$. 直线 $x+2y+1=0$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$，其垂线斜率为 $2$. 因而 结合 $b=0$ 得 $a=1$. \item 此时 $f(x)=x^2+k>0$，且 分母和 $\mathrm{e}^x$ 始终为正，只需考察 $(x-1)^2+k-1$.

当 $k\geqslant1$ 时，$(x-1)^2+k-1\geqslant0$，故 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增；当 $0<k<1$ 时，令 $x_1=1-\sqrt{1-k}$，$x_2=1+\sqrt{1-k}$， 则导数在 $(-\infty,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty)$ 为正，在 $(x_1,x_2)$ 为负. 因此 $g$ 在前两个区间上分别递增，在中间区间上递减. \end{enumerate} \end{solution}