设 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$，向量 $\boldsymbol{m} = (\sqrt{3} \sin A, \sin B)$，$\boldsymbol{n} = (\cos B, \sqrt{3} \cos A)$，若 $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1 + \cos (A + B)$，则 $C =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由向量内积得 设 $\theta=A+B=\pi-C$，则 $0<\theta<\pi$，且题设化为 用半角公式，因 $0<\theta<\pi$，有 $\sin(\frac{\theta}{2})>0$ 且 $\cos(\frac{\theta}{2})>0$，从而 故 $\tan(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 于是 $\theta=\frac{\pi}{3}$，所以 故选 C. \end{solution}

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$. 若双曲线上存在一点 $P$ 使 $\frac{\sin \angle PF_{1}F_{2}}{\sin \angle PF_{2}F_{1}} = \frac{a}{c}$，则该双曲线的离心率的取值范围为______.

\begin{answer} $(1,\sqrt{2}+1)$ \end{answer}

\begin{solution} 在三角形 $PF_1F_2$ 中，由正弦定理 故 $PF_2<PF_1$，点 $P$ 在双曲线的右支，并且双曲线定义给出 令 $PF_1=r_1$，$PF_2=r_2$，则 $r_2=\frac{r_1}{e}$，从而 $r_1=\frac{2ae}{e-1}$，$r_2=\frac{2a}{e-1}$. 三角形存在的必要条件是 $r_1+r_2>F_1F_2=2c=2ae$，于是 结合双曲线离心率 $e>1$，得 反之，在此范围内，除 外，还有 $r_2+2c-r_1=2c-2a=2a(e-1)>0$，$r_1+2c-r_2=2a+2c>0$. 所以三边 $r_1$，$r_2$，$2c$ 满足三角形不等式，且 $r_1-r_2=2a$，可构成右支上一点 $P$，故范围正是 \end{solution}

设函数 $f(x) = \sin \left(\frac{\pi}{4}x - \frac{\pi}{6}\right) - 2\cos^{2} \frac{\pi}{8}x + 1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 若函数 $y = g(x)$ 与 $y = f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，求当 $x \in \left[0, \frac{4}{3}\right]$ 时 $y = g(x)$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $2\cos^{2}u=1+\cos2u$，有 正弦函数的自变量系数为 $\frac{\pi}{4}$，故最小正周期为 \item 关于直线 $x=1$ 对称时，点 $(x,g(x))$ 对应于 $(2-x,f(2-x))$，所以 当 $0\leqslant x\leqslant\frac{4}{3}$ 时， 余弦函数在该区间的最大值为 $\frac{1}{2}$，故 $g(x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt3}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}