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04
平面向量
★★☆☆☆
已知
∣
a
∣
=
1
|\boldsymbol{a}| = 1
∣
a
∣
=
1
，
∣
b
∣
=
6
|\boldsymbol{b}| = 6
∣
b
∣
=
6
，
a
⋅
(
b
−
a
)
=
2
\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = 2
a
⋅
(
b
−
a
)
=
2
，则向量
a
\boldsymbol{a}
a
与
b
\boldsymbol{b}
b
的夹角是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由条件
a
⋅
(
b
−
a
)
=
a
⋅
b
−
∣
a
∣
2
=
2
\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{a}|^{2}=2
a
⋅
(
b
−
a
)
=
a
⋅
b
−
∣
a
∣
2
=
2
得
a
⋅
b
=
3
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3
a
⋅
b
=
3
. 设
a
\boldsymbol{a}
a
与
b
\boldsymbol{b}
b
的夹角为
θ
\theta
θ
，则
cos
θ
=
a
⋅
b
∣
a
∣
∣
b
∣
=
3
1
×
6
=
1
2
\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} =\frac{3}{1\times6}=\frac12
cos
θ
=
∣
a
∣∣
b
∣
a
⋅
b
=
1
×
6
3
=
2
1
由于
0
⩽
θ
⩽
π
0\leqslant\theta\leqslant\pi
0
⩽
θ
⩽
π
，所以
θ
=
π
3
\theta=\frac{\pi}{3}
θ
=
3
π
，选 C. \end{solution}
A.
π
6
\frac{\pi}{6}
6
π
B.
π
4
\frac{\pi}{4}
4
π
C.
π
3
\frac{\pi}{3}
3
π
D.
π
2
\frac{\pi}{2}
2
π
2009 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题
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加入组题
07
平面向量
★★★☆☆
设
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的三个内角
A
A
A
，
B
B
B
，
C
C
C
，向量
m
=
(
3
sin
A
,
sin
B
)
\boldsymbol{m} = (\sqrt{3} \sin A, \sin B)
m
=
(
3
sin
A
,
sin
B
)
，
n
=
(
cos
B
,
3
cos
A
)
\boldsymbol{n} = (\cos B, \sqrt{3} \cos A)
n
=
(
cos
B
,
3
cos
A
)
，若
m
⋅
n
=
1
+
cos
(
A
+
B
)
\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1 + \cos (A + B)
m
⋅
n
=
1
+
cos
(
A
+
B
)
，则
C
=
C =
C
=
（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由向量内积得
m
⋅
n
=
3
sin
A
cos
B
+
3
sin
B
cos
A
=
3
sin
(
A
+
B
)
\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n} =\sqrt{3}\sin A\cos B+\sqrt{3}\sin B\cos A =\sqrt{3}\sin(A+B)
m
⋅
n
=
3
sin
A
cos
B
+
3
sin
B
cos
A
=
3
sin
(
A
+
B
)
设
θ
=
A
+
B
=
π
−
C
\theta=A+B=\pi-C
θ
=
A
+
B
=
π
−
C
，则
0
<
θ
<
π
0<\theta<\pi
0
<
θ
<
π
，且题设化为
3
sin
θ
=
1
+
cos
θ
\sqrt{3}\sin\theta=1+\cos\theta
3
sin
θ
=
1
+
cos
θ
用半角公式，因
0
<
θ
<
π
0<\theta<\pi
0
<
θ
<
π
，有
sin
(
θ
2
)
>
0
\sin(\frac{\theta}{2})>0
sin
(
2
θ
)
>
0
且
cos
(
θ
2
)
>
0
\cos(\frac{\theta}{2})>0
cos
(
2
θ
)
>
0
，从而
2
3
sin
θ
2
cos
θ
2
=
2
cos
2
θ
2
2\sqrt{3}\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2 =2\cos^{2}\frac\theta2
2
3
sin
2
θ
cos
2
θ
=
2
cos
2
2
θ
故
tan
(
θ
2
)
=
1
3
\tan(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{\sqrt{3}}
tan
(
2
θ
)
=
3
1
. 于是
θ
=
π
3
\theta=\frac{\pi}{3}
θ
=
3
π
，所以
C
=
π
−
θ
=
2
π
3
C=\pi-\theta=\frac{2\pi}{3}
C
=
π
−
θ
=
3
2
π
故选 C. \end{solution}
A.
π
6
\frac{\pi}{6}
6
π
B.
π
3
\frac{\pi}{3}
3
π
C.
2
π
3
\frac{2\pi}{3}
3
2
π
D.
5
π
6
\frac{5\pi}{6}
6
5
π
2009 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题
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