已知 $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$，则双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{\sin^{2}\theta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta} = 1$ 与 $C_{2}: \frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta} - \frac{x^{2}}{\sin^{2}\theta} = 1$ 的（ ）

已知圆 $O: x^{2} + y^{2} = 5$，直线 $l: x \cos \theta + y \sin \theta = 1$（$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$）. 设圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离等于 1 的点的个数为 $k$，则 $k =$______.

如图，已知椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的中心在坐标原点 $O$，长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2m$，$2n$（$m>n$），过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A$，$B$，$C$，$D$，记 $\lambda=\frac{m}{n}$，$\triangle BDM$ 和 $\triangle ABN$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$.

(1) 当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_1=\lambda S_2$，求 $\lambda$ 的值； (2) 当 $\lambda$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$，使得 $S_1=\lambda S_2$？并说明理由.