设
t=0，点
P(t,0) 是函数
f(x)=x3+ax 与
g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点
P 处有相同的切线.
(1) 用
t 表示
a，
b，
c；
(2) 若函数
y=f(x)−g(x) 在
(−1,3) 上单调递减，求
t 的取值范围.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 记
h(x)=f(x)−g(x). 因为
P(t,0) 在两条曲线上，所以
t3+at=0，
bt2+c=0.
又因为两条曲线在
P 处有相同的切线，所以切线斜率相等，即
f′(t)=g′(t)，
3t2+a=2bt.
由
t=0，第一式给出
a=−t2. 将其代入斜率关系，得
2t2=2bt，所以
b=t. 再由
bt2+c=0，得
c=−t3. 因此
a=−t2，
b=t，
c=−t3.
\item 代入所得参数，
h(x)=x3−tx2−t2x+t3=(x−t)2(x+t)
从而
h′(x)=3x2−2tx−t2=(3x+t)(x−t)
函数
h(x) 在
(−1,3) 上单调递减，要求
h′(x)⩽0 在该区间上成立. 因为
h′(x) 是开口向上的二次函数，所以区间
(−1,3) 必须位于两个零点之间.
当
t>0 时，两个零点为
−3t 和
t，且
−3t<t. 要使
(−1,3) 位于两根之间，需
−3t⩽−1，
t⩾3
这等价于
t⩾3.
当
t<0 时，两个零点为
t 和
−3t，且
t<−3t. 此时需
t⩽−1，
−3t⩾3
这等价于
t⩽−9.
当
t=3 或
t=−9 时，导数为零的点分别是区间端点，开区间
(−1,3) 内仍有
h′(x)<0. 故
t 的取值范围为
(−∞,−9]∪[3,+∞)
\end{enumerate}
\end{solution}
