如图，正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 $1$，$E$ 是 $A_{1}B_{1}$ 的中点. 则 $E$ 到平面 $ABC_{1}D_{1}$ 的距离为（ ）

已知平面 $\alpha$，$\beta$ 和直线 $m$，给出条件：

① $m \parallel \alpha$； ② $m \perp \alpha$； ③ $m \subset \alpha$； ④ $\alpha \perp \beta$； ⑤ $\alpha \parallel \beta$.

(1) 当满足条件______ 时，有 $m \parallel \beta$； (2) 当满足条件______ 时，有 $m \perp \beta$. （填所选条件的序号）

如图 1，已知 $ABCD$ 是上、下底边长分别为 $2$ 和 $6$，高为 $\sqrt{3}$ 的等腰梯形，将它沿对称轴 $OO_{1}$ 折成直二面角，如图 2.

(1) 证明： $AC \perp BO_{1}$； (2) 求二面角 $O - AC - O_{1}$ 的大小.

\begin{solution} 折叠后建立直角坐标系，取折痕 $OO_1$ 为 $y$ 轴，使 $O(0,0,0)$，$O_1(0,\sqrt{3},0)$，$A(-3,0,0)$，$D(-1,\sqrt{3},0)$ $B(0,0,3)$，$C(0,\sqrt{3},1)$. 其中左、右两半分别位于两个互相垂直的平面内，且这些坐标保持了折叠前各边的长度.

\begin{enumerate} \item 由坐标得 $\overrightarrow{AC}=(3,\sqrt{3},1)$，$\overrightarrow{BO_1}=(0,\sqrt{3},-3)$. 因此 故 $AC\perp BO_1$. \item 平面 $OAC$ 和平面 $O_1AC$ 的一个法向量分别为 $\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{AC}=(0,-3,3\sqrt{3})$，$\boldsymbol{n}_2=\overrightarrow{AO_1}\times\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3},-3,0)$. 设二面角 $O-AC-O_1$ 的大小为 $\theta$，则 所以二面角 $O-AC-O_1$ 的大小为 $\arccos\frac{\sqrt{3}}{4}$. \end{enumerate} \end{solution}