已知数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_n+a_n=2$，则 $S_5=$______.

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n<a_{n+1}$（$n\in\mathbf{N}^*$），若点 $P_n(n,a_n)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$ 上，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=$______.

数列 $\{a_n\}$ 有 $100$ 项，$a_1=a$，对任意 $n\in[2,100]$，存在 $i$ 使得 $a_n=a_i+d$，$i\in[1,n-1]$，若 $a_k$ 与其之前中某一项相等，则称 $a_k$ 具有性质 $P$.

(1) 若 $a_1=1$，$d=2$，求 $a_4$ 所有可能的值； (2) 若 $\{a_n\}$ 不是等差数列，求证：$\{a_n\}$ 中存在具有性质 $P$ 的项； (3) 若 $\{a_n\}$ 中恰有三项具有性质 $P$，这三项和为 $c$，试用 $a$，$d$，$c$ 表示 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}$.