如图，已知六棱锥 $P - ABCDEF$ 的底面是正六边形，$PA \perp$ 平面 $ABC$，$PA = 2AB$，则下列结论正确的是（ ）

如图，在半径为 3 的球面上有 $A$，$B$，$C$ 三点，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BA = BC$，球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离是 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则 $B$，$C$ 两点的球面距离是（ ）

如图，已知正三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 的各条棱长都相等，$M$ 是侧棱 $CC_{1}$ 的中点，则异面直线 $AB_{1}$ 和 $BM$ 所成的角的大小是______.

如图，正方形 $ABCD$ 所在平面与平面四边形 $ABEF$ 所在平面互相垂直，$\triangle ABE$ 是等腰直角三角形，$AB = AE$，$FA = FE$，$\angle AEF = 45^{\circ}$.

(1) 求证： $EF \perp$ 平面 $BCE$； (2) 设线段 $CD$，$AE$ 的中点分别为 $P$，$M$，求证： $PM \parallel$ 平面 $BCE$； (3) 求二面角 $F - BD - A$ 的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在正方形所在平面内，$BC\perp AB$. 又两平面的交线为 $AB$，且两平面互相垂直，所以 $BC\perp$ 平面 $ABEF$，从而 $BC\perp EF$.

因 $\triangle ABE$ 是等腰直角三角形且 $AB=AE$，其直角在 $A$，故 $\angle AEB=45^{\circ}$. 在平面 $ABEF$ 内，题设又给出 $\angle AEF=45^{\circ}$. 由于 $ABEF$ 是非退化四边形，$EF$ 不与 $EB$ 重合，因此 $EF$ 取的是 $EA$ 的另一侧射线，从而 $\angle BEF=90^{\circ}$，即 $BE\perp EF$. 直线 $BC$、$BE$ 相交且都在平面 $BCE$ 内，$EF$ 同时垂直于它们，所以 $EF\perp$ 平面 $BCE$.

\item 取 $AB=1$，建立空间直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$D=(0,1,0)$ $E=(0,0,1)$，$F=\left(-\frac12,0,\frac12\right)$. 这些坐标满足题设的垂直、等腰直角及等腰条件. 设 $N$ 为 $BE$ 的中点，则 $P=\left(\frac12,1,0\right)$，$M=\left(0,0,\frac12\right)$，$N=\left(\frac12,0,\frac12\right)$. 于是 所以 $PM\parallel CN$. 又平面 $BCE$ 的方程为 $x+z=1$，而 $P$ 的坐标满足 $x+z=\frac12$，故 $P\notin$ 平面 $BCE$. 因此 $PM\parallel$ 平面 $BCE$.

\item 在上述坐标系中，平面 $ABD$ 的方程为 $z=0$. 平面 $FBD$ 内两条相交向量可取 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BF}=\left(-\frac32,0,\frac12\right)$. 故其法向量可取 而平面 $ABD$ 的法向量为 $(0,0,1)$. 设二面角 $F-BD-A$ 的大小为 $\theta$，取其锐角，则 所以 $\theta=\arctan\frac{\sqrt2}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}