设集合 $M = \{x \mid x^{2} - 3x - 4 < 0\}$，$N = \{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 5\}$，则 $M \cap N =$（ ）

\begin{solution} 因式分解得 $x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)$，所以 $M=\left(-1,4\right)$. 与 $N=\left[0,5\right]$ 相交，得 故选 B. \end{solution}

设 $x$，$y$ 满足约束条件 则 $z=x+4y$ 的最大值为______.

\begin{solution} 三个约束边界的交点分别为 $y=x$，$\ x-2y=1\Longrightarrow(-1,-1)$， $y=x$，$\ x+2y=3\Longrightarrow(1,1)$，以及 $x+2y=3$，$\ x-2y=1\Longrightarrow\left(2,\frac12\right)$. 这三个点均满足其余约束，构成可行域的三个顶点；线性目标函数在该多边形上的最大值必在顶点处取得. 在顶点处计算 $z=x+4y$，分别得到 $-5$，$5$，$4$. 因而最大值为 $5$. \end{solution}