等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{4}=2$，$a_{5}=5$，则数列 $\{\lg a_{n}\}$ 的前 $8$ 项和等于（ ）

\begin{solution} 设 $u_{n}=\lg a_{n}$. 等比数列的公比为 $q=\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=\dfrac52$，故 $\{u_{n}\}$ 是等差数列. 对称项的和相等，因此 又 $u_{4}=\lg2$，$u_{5}=\lg5$，所以 故选 C. \end{solution}

等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $a_{1}=10$，$a_{2}$ 为整数，且 $S_{n}\leqslant S_{4}$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}}$，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列的公差为 $d$，则 $a_{n}=10+(n-1)d$. 由题设 $S_{3}\leqslant S_{4}$ 和 $S_{5}\leqslant S_{4}$，分别得到 $a_{4}=10+3d\geqslant0$，$a_{5}=10+4d\leqslant0$. 因为 $d$ 为整数，所以 $-\dfrac{10}{3}\leqslant d\leqslant-\dfrac52$ 只能给出 $d=-3$. 此时 $S_{n}=\frac{n}{2}\left(20-3(n-1)\right)=\frac{n(23-3n)}{2}$，$S_{4}=22$ 且对任意正整数 $n$， 其中，$n=1$，$2$，$3$ 时两个因式均为负，$n\geqslant4$ 时两个因式均为非负. 所以所得数列确实满足题设条件，且 \item 由 $a_{k}-a_{k+1}=3$，有 所以 \end{enumerate} \end{solution}