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04
平面向量
★★☆☆☆
若向量
a
\boldsymbol{a}
a
，
b
\boldsymbol{b}
b
满足：
∣
a
∣
=
1
|\boldsymbol{a}| = 1
∣
a
∣
=
1
，
(
a
+
b
)
⊥
a
(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}
(
a
+
b
)
⊥
a
，
(
2
a
+
b
)
⊥
b
(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}
(
2
a
+
b
)
⊥
b
，则
∣
b
∣
=
|\boldsymbol{b}| =
∣
b
∣
=
（ ）
\begin{solution} 由
(
a
+
b
)
⊥
a
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}
(
a
+
b
)
⊥
a
，有
0
=
(
a
+
b
)
⋅
a
=
∣
a
∣
2
+
a
⋅
b
=
1
+
a
⋅
b
0=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} =1+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}
0
=
(
a
+
b
)
⋅
a
=
∣
a
∣
2
+
a
⋅
b
=
1
+
a
⋅
b
所以
a
⋅
b
=
−
1
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1
a
⋅
b
=
−
1
. 再由
(
2
a
+
b
)
⊥
b
(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}
(
2
a
+
b
)
⊥
b
，得
0
=
(
2
a
+
b
)
⋅
b
=
2
a
⋅
b
+
∣
b
∣
2
=
−
2
+
∣
b
∣
2
0=(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^{2} =-2+|\boldsymbol{b}|^{2}
0
=
(
2
a
+
b
)
⋅
b
=
2
a
⋅
b
+
∣
b
∣
2
=
−
2
+
∣
b
∣
2
因此
∣
b
∣
=
2
|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}
∣
b
∣
=
2
，故选 B. \end{solution}
A.
2
2
2
B.
2
\sqrt{2}
2
C.
1
1
1
D.
2
2
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
2
2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题
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