设 $a \neq b$，解关于 $x$ 的不等式：$a^2 x + b^2 (1 - x) \geqslant [a x + b(1 - x)]^2$.

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 $2\text{ 米}$ 的无盖长方体沉淀槽，污水从 $A$ 孔流入，经沉淀后从 $B$ 孔流出. 设箱体的长度为 $a\text{ 米}$，高度为 $b\text{ 米}$. 已知流出的水中该杂质的质量分数与 $a$，$b$ 的乘积 $ab$ 成反比. 现有制箱材料 $60\text{ 平方米}$. 问当 $a$，$b$ 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.（$A$，$B$ 孔的面积忽略不计）