在 $(1 - x)^{5} + (1 - x)^{6} + (1 - x)^{7} + (1 - x)^{8}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是（$\quad$）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 由二项式定理，$(1-x)^j$ 中 $x^3$ 的系数为 $\mathrm C_j^3(-1)^3=-\mathrm C_j^3$. 因此原式中 $x^3$ 的系数为 故选 D. \end{solution}

从集合 $\{O, P, Q, R, S\}$ 与 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 中各任取 $2$ 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）. 每排中字母 $O$，$Q$ 和数字 $0$ 至多只能出现一个的不同排法种数是______. （用数字作答）

\begin{answer} $8424$ \end{answer}

\begin{solution} 先任取两个字母、两个数字，再将四个元素排列，总排法数为 不合条件的排法分三类且互不相交： \begin{enumerate} \item 同时选中字母 $O$，$Q$. 两个数字任取，有 $\mathrm C_{10}^2$ 种选法，排法数为 $\mathrm C_{10}^2 4!=1080$； \item 选中 $O$ 和数字 $0$，但未选中 $Q$. 另一个字母有 $3$ 种，另一个数字有 $9$ 种，排法数为 $3\times9\times4!=648$； \item 选中 $Q$ 和数字 $0$，但未选中 $O$. 同理，排法数为 $3\times9\times4!=648$. \end{enumerate} 因此符合条件的排法数为 \end{solution}