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03函数与初等函数★★☆☆☆
设
f(x)={∣x−1∣−2,∣x∣⩽1,11+x2,∣x∣>1,f(x)=\begin{cases} |x-1|-2, & |x|\leqslant1,\\ \dfrac{1}{1+x^{2}}, & |x|>1, \end{cases}
则 f[f(12)]=f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]=（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 ∣12∣⩽1\left|\frac{1}{2}\right|\leqslant1，所以应使用分段函数的第一段，得
f(12)=∣12−1∣−2=−32f\left(\frac{1}{2}\right)=\left|\frac{1}{2}-1\right|-2=-\frac{3}{2}
又因为 ∣−32∣>1\left|-\frac{3}{2}\right|>1，所以计算外层函数值时应使用第二段，得
f[f(12)]=f(−32)=11+(−32)2=413f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right] =f\left(-\frac{3}{2}\right) =\frac{1}{1+\left(-\frac{3}{2}\right)^2} =\frac{4}{13}
故选 B. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
413\frac{4}{13}
C.
−95-\frac{9}{5}
D.
2541\frac{25}{41}

2005 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知 k<−4k < -4，则函数 y=cos⁡2x+k(cos⁡x−1)y = \cos 2x + k(\cos x - 1) 的最小值是（\quad）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 令 t=cos⁡xt=\cos x，则 −1⩽t⩽1-1\leqslant t\leqslant1，且
y=2t2−1+k(t−1)=2t2+kt−k−1y=2t^2-1+k(t-1)=2t^2+kt-k-1
记右侧为 h(t)h(t)，则 h′(t)=4t+k⩽4+k<0h'(t)=4t+k\leqslant4+k<0，（−1⩽t⩽1-1\leqslant t\leqslant1）. 所以 h(t)h(t) 在 [−1,1][-1,1] 上单调递减，最小值在 t=1t=1 处取得. 因而
ymin⁡=2+k−k−1=1y_{\min}=2+k-k-1=1
故选 A. \end{solution}
A.
11
B.
−1-1
C.
2k+12k + 1
D.
−2k+1-2k + 1

2005 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=xx+2y = \frac{x}{x + 2}（x∈Rx \in \mathbf{R}，且 x≠−2x \neq -2）的反函数是______.
\begin{answer} y=21−xy=\frac{2}{1-x}，x∈Rx\in\mathbf{R}，且 x≠1x\neq1 \end{answer}
\begin{solution} 由 y=xx+2y=\dfrac{x}{x+2} 得 y(x+2)=xy(x+2)=x，⟹\Longrightarrow，x(y−1)=−2x(y-1)=-2. 由于原函数的值域为 R∖{1}\mathbf{R}\setminus\{1\}，所以 y≠1y\ne1，从而
x=21−yx=\frac{2}{1-y}
交换 xx，yy 得反函数 y=21−xy=\frac{2}{1-x}，x∈Rx\in\mathbf{R}， x≠1\ x\ne1. \end{solution}

2005 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2xf(x) = x^{2} + 2x.
(1) 求函数 g(x)g(x) 的解析式； (2) 解不等式 g(x)⩾f(x)−∣x−1∣g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称意味着点 (x,f(x))(x,f(x)) 关于原点的对称点 (−x,−f(x))(-x,-f(x)) 在函数 gg 的图象上. 因而
g(x)=−f(−x)=−[(−x)2+2(−x)]=−x2+2xg(x)=-f(-x)=-\left[(-x)^2+2(-x)\right]=-x^2+2x
\item 将 ff，gg 的解析式代入不等式，得
−x2+2x⩾x2+2x−∣x−1∣⟺∣x−1∣⩾2x2-x^2+2x\geqslant x^2+2x-|x-1| \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|\geqslant2x^2
当 x⩾1x\geqslant1 时，∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1，不等式化为
2x2−x+1⩽02x^2-x+1\leqslant0
其判别式为 1−8<01-8<0，故此时无解.
当 x<1x<1 时，∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x，不等式化为
2x2+x−1⩽0⟺(2x−1)(x+1)⩽02x^2+x-1\leqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad (2x-1)(x+1)\leqslant0
所以 −1⩽x⩽12-1\leqslant x\leqslant\frac12. 综合两种情况，解集为 [−1,12]\left[-1,\frac12\right]. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
设点 An(xn,0)A_{n}(x_{n},0)，Pn(xn,2n−1)P_{n}(x_{n},2^{n - 1}) 和抛物线 Cn:y=x2+anx+bnC_n: y = x^{2} + a_n x + b_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），其中 an=−2−4n−12n−1a_{n} = -2 - 4n - \frac{1}{2^{n-1}}，xnx_{n} 由以下方法得到：x1=1x_{1} = 1，点 P2(x2,2)P_{2}(x_{2},2) 在抛物线 C1:y=x2+a1x+b1C_{1}: y = x^{2} + a_{1}x + b_{1} 上，点 A1(x1,0)A_{1}(x_{1},0) 到 P2P_{2} 的距离是 A1A_{1} 到 C1C_{1} 上点的最短距离. ⋯\cdots，点 Pn+1(xn+1,2n)P_{n + 1}(x_{n + 1},2^{n}) 在抛物线 Cn:y=x2+anx+bnC_{n}: y = x^{2} + a_{n}x + b_{n} 上，点 An(xn,0)A_{n}(x_{n},0) 到 Pn+1P_{n + 1} 的距离是 AnA_{n} 到 CnC_{n} 上点的最短距离.
(1) 求 x2x_{2} 及 C1C_{1} 的方程. (2) 证明 {xn}\{x_{n}\} 是等差数列.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 a1=−2−4−1=−7a_1=-2-4-1=-7，知 C1:y=x2−7x+b1C_1:y=x^2-7x+b_1. 抛物线在点 P2=(x2,2)P_2=(x_2,2) 处的切线方向向量为 (1,2x2−7)(1,2x_2-7)，而 A1P2→=(x2−1,2)\overrightarrow{A_1P_2}=(x_2-1,2). 最短距离条件说明这两条方向相互垂直，因此 (x2−1,2)⋅(1,2x2−7)=0(x_2-1,2)\cdot(1,2x_2-7)=0，⟹\Longrightarrow，x2−1+2(2x2−7)=0x_2-1+2(2x_2-7)=0. 解得 x2=3x_2=3. 再由 P2∈C1P_2\in C_1，得
2=32−7⋅3+b12=3^2-7\cdot3+b_1
所以 b1=14b_1=14，从而
C1:y=x2−7x+14C_1:y=x^2-7x+14
\item 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，抛物线 CnC_n 在点 Pn+1P_{n+1} 处的切线方向向量为 (1,2xn+1+an)\left(1,2x_{n+1}+a_n\right)，而
AnPn+1→=(xn+1−xn,2n)\overrightarrow{A_nP_{n+1}}=\left(x_{n+1}-x_n,2^n\right)
由最短距离条件，二者垂直，故
xn+1−xn+2n(2xn+1+an)=0x_{n+1}-x_n+2^n(2x_{n+1}+a_n)=0
假设 xn=2n−1x_n=2n-1，代入 an=−2−4n−21−na_n=-2-4n-2^{1-n}，得
(1+2n+1)xn+1=2n−1+2n(2+4n+21−n)=(2n+1)(1+2n+1)\left(1+2^{n+1}\right)x_{n+1} =2n-1+2^n\left(2+4n+2^{1-n}\right) =(2n+1)\left(1+2^{n+1}\right)
因此 xn+1=2n+1x_{n+1}=2n+1. 又 x1=1=2×1−1x_1=1=2\times1-1，由数学归纳法 xn=2n−1x_n=2n-1，（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）. 所以 xn+1−xn=2x_{n+1}-x_n=2，即 {xn}\{x_n\} 是首项为 11，公差为 22 的等差数列. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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