设集合 $A=\{(x,y)\mid x,y,1-x-y\text{ 是三角形的三边长}\}$，则 $A$ 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（$\quad$）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 令三边长分别为 $x$，$y$，$1-x-y$. 它们能构成三角形的充要条件是三者均为正数，且每一边都小于另外两边之和. 因此 $x>0$，$y>0$，$1-x-y>0$，$x<1-x$，$y<1-y$，$1-x-y<x+y$. 化简得 $0<x<\frac{1}{2}$，$0<y<\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}<x+y<1$. 其中 $x<\frac{1}{2}$ 和 $y<\frac{1}{2}$ 已推出 $x+y<1$，所以区域是正方形 $0<x<\frac{1}{2}$，$0<y<\frac{1}{2}$ 中直线 $x+y=\frac{1}{2}$ 上方且不含边界的部分，对应图 A. \end{solution}

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称，且 $f(x) = x^{2} + 2x$.

(1) 求函数 $g(x)$ 的解析式； (2) 解不等式 $g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称意味着点 $(x,f(x))$ 关于原点的对称点 $(-x,-f(x))$ 在函数 $g$ 的图象上. 因而

\item 将 $f$，$g$ 的解析式代入不等式，得 当 $x\geqslant1$ 时，$|x-1|=x-1$，不等式化为 其判别式为 $1-8<0$，故此时无解.

当 $x<1$ 时，$|x-1|=1-x$，不等式化为 所以 $-1\leqslant x\leqslant\frac12$. 综合两种情况，解集为 $\left[-1,\frac12\right]$. \end{enumerate} \end{solution}