袋子 $A$ 和 $B$ 中装有若干个均匀的红球和白球，从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$，从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$.

(1) 从 $A$ 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 $3$ 次摸到红球即停止.

(i) 求恰好摸 $5$ 次停止的概率； (ii) 记 $5$ 次之内（含 $5$ 次）摸到红球的次数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E(\xi)$； (2) 若 $A$，$B$ 两个袋子中的球数之比为 $1:2$，将 $A$，$B$ 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$，求 $p$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设一次摸到红球和白球的概率分别为 $r=\frac13$，$w=\frac23$. \begin{enumerate} \item 恰好第 $5$ 次停止，等价于前 $4$ 次恰有 $2$ 次摸到红球且第 $5$ 次摸到红球. 因此

\item 当 $\xi=0$，$1$，$2$ 时，在前 $5$ 次中分别恰有 $0$，$1$，$2$ 次红球，故 当 $\xi=3$ 时，第三次红球在第 $3$，$4$ 或 $5$ 次出现，所以 所以分布列为 且 \end{enumerate}

\item 设袋子 $A$ 中有 $N$ 个球，则袋子 $B$ 中有 $2N$ 个球. 两袋合并后红球总数为 $\frac N3+2Np$，球总数为 $3N$. 由题意 $\frac{\frac N3+2Np}{3N}=\frac25$，$\Longrightarrow$，$\frac19+\frac{2p}{3}=\frac25$. 解得 $p=\frac{13}{30}$. \end{enumerate} \end{solution}