极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}$ 的值是（$\quad$）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由等差数列求和公式，$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$，所以 故选 C. \end{solution}

设点 $A_{n}(x_{n},0)$，$P_{n}(x_{n},2^{n - 1})$ 和抛物线 $C_n: y = x^{2} + a_n x + b_n$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），其中 $a_{n} = -2 - 4n - \frac{1}{2^{n-1}}$，$x_{n}$ 由以下方法得到：$x_{1} = 1$，点 $P_{2}(x_{2},2)$ 在抛物线 $C_{1}: y = x^{2} + a_{1}x + b_{1}$ 上，点 $A_{1}(x_{1},0)$ 到 $P_{2}$ 的距离是 $A_{1}$ 到 $C_{1}$ 上点的最短距离. $\cdots$，点 $P_{n + 1}(x_{n + 1},2^{n})$ 在抛物线 $C_{n}: y = x^{2} + a_{n}x + b_{n}$ 上，点 $A_{n}(x_{n},0)$ 到 $P_{n + 1}$ 的距离是 $A_{n}$ 到 $C_{n}$ 上点的最短距离.

(1) 求 $x_{2}$ 及 $C_{1}$ 的方程. (2) 证明 $\{x_{n}\}$ 是等差数列.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $a_1=-2-4-1=-7$，知 $C_1:y=x^2-7x+b_1$. 抛物线在点 $P_2=(x_2,2)$ 处的切线方向向量为 $(1,2x_2-7)$，而 $\overrightarrow{A_1P_2}=(x_2-1,2)$. 最短距离条件说明这两条方向相互垂直，因此 $(x_2-1,2)\cdot(1,2x_2-7)=0$，$\Longrightarrow$，$x_2-1+2(2x_2-7)=0$. 解得 $x_2=3$. 再由 $P_2\in C_1$，得 所以 $b_1=14$，从而

\item 对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，抛物线 $C_n$ 在点 $P_{n+1}$ 处的切线方向向量为 $\left(1,2x_{n+1}+a_n\right)$，而 由最短距离条件，二者垂直，故 假设 $x_n=2n-1$，代入 $a_n=-2-4n-2^{1-n}$，得 因此 $x_{n+1}=2n+1$. 又 $x_1=1=2\times1-1$，由数学归纳法 $x_n=2n-1$，（$n\in\mathbf{N}^*$）. 所以 $x_{n+1}-x_n=2$，即 $\{x_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列. \end{enumerate} \end{solution}