已知 $k < -4$，则函数 $y = \cos 2x + k(\cos x - 1)$ 的最小值是（$\quad$）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 令 $t=\cos x$，则 $-1\leqslant t\leqslant1$，且 记右侧为 $h(t)$，则 $h'(t)=4t+k\leqslant4+k<0$，（$-1\leqslant t\leqslant1$）. 所以 $h(t)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，最小值在 $t=1$ 处取得. 因而 故选 A. \end{solution}

已知函数 $f(x) = -\sqrt{3}\sin^{2}x + \sin x\cos x$.

(1) 求 $f\left(\frac{25\pi}{6}\right)$ 的值； (2) 设 $\alpha \in (0, \pi)$，$f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\sin \alpha$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $\frac{25\pi}{6}=4\pi+\frac{\pi}{6}$，所以 $\sin\frac{25\pi}{6}=\frac{1}{2}$，$\cos\frac{25\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 因此

\item 令 $\theta=\frac{\alpha}{2}$，则 $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. 利用半角公式，原条件化为 整理得 即 令 $\delta=\arcsin\frac{1}{4}$，则 $0<\delta<\frac{\pi}{6}$. 由于 $\alpha+\frac{\pi}{3}\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right)$，只有 满足条件，所以 $\alpha=\frac{2\pi}{3}-\delta$. 又 $\sin\delta=\frac14$，$\cos\delta=\frac{\sqrt{15}}4$，从而 \end{enumerate} \end{solution}