在函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 中，若 $a$，$b$，$c$ 成等比数列且 $f(0)=-4$，则 $f(x)$ 有______值（填“大”或“小”），且该值为______. \begin{answer} 大，$-3$ \end{answer}

\begin{solution} 设等比数列 $a$，$b$，$c$ 的公比为 $q$. 因为 $c=f(0)=-4\neq0$，所以 $a\neq0$、$q\neq0$，且 $c=aq^{2}$，从而 $a=-\frac{4}{q^{2}}<0$. 等比数列的相邻三项满足 $b^{2}=ac$，故 由于 $a<0$，函数有最大值，且 $c-\dfrac{b^{2}}{4a}=c-\dfrac{ac}{4a}=\dfrac34c=-3$. 所以填“大”，该值为 $-3$. \end{solution}

定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等和数列，且 $a_{1}=2$，公和为 $5$，那么 $a_{18}$ 的值为______，且这个数列的前 $21$ 项和 $S_{21}$ 的计算公式为______. \begin{answer} $3$，$S_{21}=52$ \end{answer}

\begin{solution} 由等和数列的定义，任意相邻两项满足 $a_n+a_{n+1}=5$，所以 $a_{n+1}=5-a_n$. 由 $a_1=2$ 得 $a_2=3$，再由递推关系得到 $a_3=2$，$a_4=3$，故可归纳得 $a_{2j-1}=2$，$a_{2j}=3$（$j=1$，$2$，$\cdots$）. 因为 $18=2\times9$，所以 $a_{18}=3$. 前 $21$ 项中有 $11$ 个奇数项和 $10$ 个偶数项，故 $S_{21}=11\times2+10\times3=52$. 所以两个填空依次为 $3$，$S_{21}=52$. \end{solution}

函数 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的增函数，满足 $f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right)$ 且 $f(1)=1$，在每个区间 $\left(\frac{1}{2^{i}},\frac{1}{2^{i-1}}\right]$（$i=1$，$2$，$\cdots$）上，$y=f(x)$ 的图象都是斜率为同一常数 $k$ 的直线的一部分.

(1) 求 $f(0)$ 及 $f\left(\frac{1}{2}\right)$，$f\left(\frac{1}{4}\right)$ 的值，并归纳出 $f\left(\frac{1}{2^{i}}\right)$（$i=1$，$2$，$\cdots$）的表达式； (2) 设直线 $x=\frac{1}{2^{i}}$，$x=\frac{1}{2^{i-1}}$，$x$ 轴及 $y=f(x)$ 的图象围成的矩形的面积为 $a_{i}$（$i=1$，$2$，$\cdots$），求 $a_{1}$，$a_{2}$ 及 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})$ 的值.