设 $M=\{x\mid -2\leqslant x\leqslant 2\}$，$N=\{x\mid x<1\}$，则 $M\cap N$ 等于（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 因为 $M$ 表示区间 $[-2,2]$，而 $N$ 表示区间 $(-\infty,1)$，所以 $M\cap N=\{x\mid -2\leqslant x<1\}$，正确选项为 D. \end{solution}

函数 其中 $P$，$M$ 为实数集 $\mathbf{R}$ 的两个非空子集，又规定 $f(P)=\{y\mid y=f(x),x\in P\}$，$f(M)=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$，给出下列四个判断：

① 若 $P\cap M=\varnothing$，则 $f(P)\cup f(M)=\varnothing$； ② 若 $P\cap M\neq\varnothing$，则 $f(P)\cap f(M)\neq\varnothing$； ③ 若 $P\cup M=\mathbf{R}$，则 $f(P)\cup f(M)=\mathbf{R}$； ④ 若 $P\cup M\neq\mathbf{R}$，则 $f(P)\cup f(M)\neq\mathbf{R}$.

其中正确判断有（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 因为题目给出的 $f$ 是函数，若 $x\in P\cap M$，则同一个 $x$ 必须满足 $f(x)=x$ 和 $f(x)=-x$，故 $x=0$，即 $P\cap M\subseteq\{0\}$. 对任意 $p\in P$，即使 $p\in M$，也只能有 $p=0$，仍有 $f(p)=p$，所以 $f(P)=P$；同理 $f(M)=-M=\{-m\mid m\in M\}$.

第一个命题不正确：$P$，$M$ 都是非空集，即使 $P\cap M=\varnothing$，$f(P)$ 和 $f(M)$ 仍分别非空，所以它们的并集不可能为空.

第二个命题正确：若 $P\cap M\neq\varnothing$，由上面的结论必有 $0\in P\cap M$，而 $f(0)=0$，所以 $0\in f(P)\cap f(M)$.

第三个命题不正确. 取 $P=[0,+\infty)$，$M=(-\infty,0]$，则 $P\cup M=\mathbf{R}$，且 $f(P)=[0,+\infty)$，$f(M)=[0,+\infty)$，故 $f(P)\cup f(M)\neq\mathbf{R}$.

证明第四个命题的逆否命题. 假设 $f(P)\cup f(M)=\mathbf{R}$，若存在 $x\notin P\cup M$，则 $x\notin P$，从而 $x\notin f(P)=P$，所以 $x\in f(M)$. 由 $f(M)=-M$ 可知 $-x\in M$.

又因 $-x\in\mathbf{R}=f(P)\cup f(M)=P\cup(-M)$，若 $-x\in f(M)=-M$，则存在 $m\in M$ 使 $-m=-x$，即 $m=x$，与 $x\notin M$ 矛盾. 因而 $-x\in f(P)=P$. 结合 $-x\in M$，得 $-x\in P\cap M\subseteq\{0\}$，所以 $x=0$. 但此时 $x=0\in M$，仍与 $x\notin P\cup M$ 矛盾. 所以 $P\cup M=\mathbf{R}$，第四个命题正确.

因此正确判断有第二和第四个，共 $2$ 个，选 B. \end{solution}

给定有限个正数满足条件 $T$：每个数都不大于 $50$ 且总和 $L=1275$. 现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 $150$ 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 $150$ 与这组数之和的差 $r_{1}$ 与所有可能的其他选择相比是最小的，$r_{1}$ 称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 $r_{2}$；如此继续构成第三组（余差为 $r_{3}$），第四组（余差为 $r_{4}$），$\cdots$，直至第 $N$ 组（余差为 $r_{N}$）把这些数全部分完为止.

(1) 判断 $r_{1}$，$r_{2}$，$\cdots$，$r_{N}$ 的大小关系，并指出除第 $N$ 组外的每组至少含有几个数； (2) 当构成第 $n$（$n<N$）组后，指出余下的每个数与 $r_{n}$ 的大小关系，并证明 $r_{n-1}>\frac{150n-L}{n-1}$； (3) 对任何满足条件 $T$ 的有限个正数，证明：$N\leqslant 11$.