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03立体几何初步★★☆☆☆
设 mm，nn 是两条不同的直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
① 若 m⊥αm\perp\alpha，n∥αn\parallel\alpha，则 m⊥nm\perp n； ② 若 α∥β\alpha\parallel\beta，β∥γ\beta\parallel\gamma，m⊥αm\perp\alpha，则 m⊥γm\perp\gamma； ③ 若 m∥αm\parallel\alpha，n∥αn\parallel\alpha，则 m∥nm\parallel n； ④ 若 α⊥γ\alpha\perp\gamma，β⊥γ\beta\perp\gamma，则 α∥β\alpha\parallel\beta.
其中正确命题的序号是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 若 m⊥αm\perp\alpha，则 mm 垂直于平面 α\alpha 内的任意直线；而 n∥αn\parallel\alpha 表示 nn 的方向与平面 α\alpha 内某条直线的方向相同，因此 m⊥nm\perp n，第一个命题正确.
由 α∥β\alpha\parallel\beta，β∥γ\beta\parallel\gamma 及三个平面互不重合，得 α∥γ\alpha\parallel\gamma. 平行平面的法向方向相同，所以 m⊥αm\perp\alpha 时也有 m⊥γm\perp\gamma，第二个命题正确.
第三个命题不正确：在一个与 α\alpha 平行的平面内取两条相交直线 mm，nn，它们都平行于 α\alpha，但彼此不平行. 第四个命题也不正确：两个互相垂直于同一平面的平面可以相交，例如两个不同的竖直平面都垂直于水平面. 因而正确命题为第一和第二个，选 A. \end{solution}
A.
①和②
B.
②和③
C.
③和④
D.
①和④

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP 是侧面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 内一动点，若 PP 到直线 BCBC 与直线 C1D1C_{1}D_{1} 的距离相等，则动点 PP 的轨迹所在的曲线是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设正方体棱长为 l>0l>0，建立直角坐标系，使 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(l,0,0)B=(l,0,0)，C=(l,l,0)C=(l,l,0)，C1=(l,l,l)C_{1}=(l,l,l)，且侧面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 为平面 x=lx=l. 设 P=(l,y,z)P=(l,y,z)，其中 0⩽y0\leqslant y，z⩽lz\leqslant l.
点 PP 到直线 BCBC 的距离为 zz. 直线 C1D1C_{1}D_{1} 的点可写为 (s,l,l)(s,l,l)，所以
dist⁡(P,C1D1)2=(l−y)2+(l−z)2\operatorname{dist}(P,C_{1}D_{1})^{2}=(l-y)^{2}+(l-z)^{2}
其中最近点对应于 s=ls=l，即 C1C_{1}. 因此题设条件等价于
z=(l−y)2+(l−z)2z=\sqrt{(l-y)^{2}+(l-z)^{2}}
这正是平面 x=lx=l 内的点到焦点 C1C_{1} 的距离等于到准线 BCBC 的距离的轨迹，即抛物线在该正方形侧面内的部分. 故选 D. \end{solution}
A.
直线
B.
圆
C.
双曲线
D.
抛物线

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11立体几何初步★★☆☆☆
某地球仪上北纬 30∘30^{\circ} 纬线的长度为 12π cm12\pi\mathrm{~cm}，该地球仪的半径是______cm\mathrm{cm}，表面积是______cm2\mathrm{cm}^{2}. \begin{answer} 434\sqrt{3}，192π192\pi \end{answer}
\begin{solution} 设地球仪半径为 RR. 北纬 30∘30^{\circ} 纬线所在圆的半径是球心到该纬线平面的垂线在该平面内的投影长度，即 Rcos⁡30∘=32RR\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}R. 因此该纬线的长度为
2π⋅32R=12π2\pi\cdot\frac{\sqrt3}{2}R=12\pi
约去 π\pi 并解得 R=43R=4\sqrt3. 地球仪的表面积为 4πR2=4π⋅(43)2=192π4\pi R^{2}=4\pi\cdot(4\sqrt3)^{2}=192\pi. 两个填空依次为 434\sqrt3，192π192\pi. \end{solution}

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=2AB=2，AA1=2AA_{1}=2，由顶点 BB 沿棱柱侧面经过棱 AA1AA_{1} 到顶点 C1C_{1} 的最短路线与 AA1AA_{1} 的交点为 MM，求：
(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2) 该最短路线的长与 A1MAM\frac{A_{1}M}{AM} 的值； (3) 平面 C1MBC_{1}MB 与平面 ABCABC 所成二面角（锐角）的大小.

2004 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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