从长度分别为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 的五条线段中，任取三条的不同取法共有 $n$ 种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 $m$，则 $\frac{m}{n}$ 等于（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 任取三条线段的取法数为 $n=\mathrm C_{5}^{3}=10$. 将所有取法按边长从小到大列出：$(1,2,3)$、$(1,2,4)$、$(1,2,5)$、$(1,3,4)$、$(1,3,5)$、$(1,4,5)$、$(2,3,4)$、$(2,3,5)$、$(2,4,5)$、$(3,4,5)$.

三角形的判定条件是两条较短边之和大于最长边. 因而 $(1,2,3)$、$(1,3,4)$、$(1,4,5)$、$(2,3,5)$ 的两短边之和等于最长边，不能组成三角形；$(1,2,4)$、$(1,2,5)$、$(1,3,5)$ 的两短边之和小于最长边，也不能组成三角形. 只有 $(2,3,4)$、$(2,4,5)$、$(3,4,5)$ 能组成三角形.

对于边长依次为 $a\leqslant b\leqslant c$ 的三角形，由余弦定理，最大角为钝角、直角或锐角，分别对应 $c^{2}>a^{2}+b^{2}$、$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 或 $c^{2}<a^{2}+b^{2}$. 对 $(2,3,4)$，有 $4^{2}=16>13=2^{2}+3^{2}$；对 $(2,4,5)$，有 $5^{2}=25>20=2^{2}+4^{2}$，这两组是钝角三角形. 对 $(3,4,5)$，有 $5^{2}=3^{2}+4^{2}$，它是直角三角形. 因而 $m=2$，所以 $\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{10}=\dfrac15$，选 B. \end{solution}

函数 $y=\sin x\cos x$ 的最小正周期是______. \begin{answer} $\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 利用二倍角公式，$y=\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$. 因为 $\sin 2(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin2x$，所以 $\pi$ 是该函数的正周期. 若正数 $T$ 是它的周期，则对任意 $x$，有 $\sin(2x+2T)=\sin2x$. 取 $x=0$ 和 $x=\dfrac{\pi}{4}$，分别得到 $\sin2T=0$ 以及 $\cos2T=1$，故 $2T=2k\pi$（$k\in\mathbf{Z}$），从而 $T=k\pi$. 正数周期中最小者为 $\pi$. \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，$\sin A+\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=2$，$AB=3$，求 $\tan A$ 的值和 $\triangle ABC$ 的面积.