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07
导数及其应用
★★☆☆☆
设函数
f
(
x
)
=
e
x
+
2
sin
x
1
+
x
2
f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2\sin x}{1+x^2}
f
(
x
)
=
1
+
x
2
e
x
+
2
sin
x
，则曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
在点
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A.
1
6
\dfrac16
6
1
B.
1
3
\dfrac13
3
1
C.
1
2
\dfrac12
2
1
D.
2
3
\dfrac23
3
2
2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题
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16
导数及其应用
★★★★☆
当
x
>
0
x>0
x
>
0
时，曲线
y
=
x
3
−
3
x
y=x^3-3x
y
=
x
3
−
3
x
与曲线
y
=
−
(
x
−
1
)
2
+
a
y=-(x-1)^2+a
y
=
−
(
x
−
1
)
2
+
a
有两个交点，则
a
a
a
的取值范围是______.
2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题
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20
导数及其应用
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
a
(
x
−
1
)
−
ln
x
+
1
f(x)=a(x-1)-\ln x+1
f
(
x
)
=
a
(
x
−
1
)
−
ln
x
+
1
.
(1) 讨论
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调性； (2) 设
a
≤
2
a\le2
a
≤
2
，证明：当
x
>
1
x>1
x
>
1
时，
f
(
x
)
<
e
x
−
1
f(x)<\mathrm{e}^{x-1}
f
(
x
)
<
e
x
−
1
.
2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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