设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点 $P$，满足 $|PF_{2}| = |F_{1}F_{2}|$，且 $F_{2}$ 到直线 $PF_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线焦距参数为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$，且 $|F_1F_2|=2c$，$|PF_2|=2c$. 由于 $P$ 在右支上，双曲线定义给出 所以 $|PF_1|=2(a+c)$. 三角形 $PF_1F_2$ 的面积既可由边 $PF_1$ 和到直线 $PF_1$ 的距离求得，也可由底边 $F_1F_2$ 和点 $P$ 到该底边的距离求得. 设 $\theta=\angle F_1PF_2$，则 又由余弦定理 得 利用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，有 即 令 $t=\frac ac$，得 $5t^2+2t-3=0$. 因为 $0<t<1$，所以 $t=\frac35$，从而 $\frac{b}{c}=\frac45$，即 $\frac{b}{a}=\frac43$.

双曲线的渐近线为 $y=\pm\frac ba x$，所以方程为 $4x\pm3y=0$，故选 C. \end{solution}

设抛物线 $y^{2}=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，点 $A(0,2)$. 若线段 $FA$ 的中点 $B$ 在抛物线上，则 $B$ 到该抛物线准线的距离为______. \begin{answer} $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 将 $y^2=2px$ 与标准形式 $y^2=4ax$ 比较，得焦点 $F=(\frac p2,0)$，准线为 $x=-\frac p2$. 因此 因为 $B$ 在抛物线上，所以 由 $p>0$ 得 $p=\sqrt2$，从而 $B=(\frac{\sqrt2}{4},1)$. 点 $B$ 到准线的距离为 故填 $\frac{3\sqrt2}{4}$. \end{solution}

已知 $m > 1$，直线 $l: x - my - \frac{m^2}{2} = 0$，椭圆 $C$：$\frac{x^2}{m^2} + y^2 = 1$，$F_1$，$F_2$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点.

(1) 当直线 $l$ 过右焦点 $F_2$ 时，求直线 $l$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$\triangle AF_1F_2$，$\triangle BF_1F_2$ 的重心分别为 $G$，$H$. 若原点 $O$ 在以线段 $GH$ 为直径的圆内，求实数 $m$ 的取值范围.

\begin{solution} 椭圆的焦点为 $F_1=(-\sqrt{m^2-1},0)$，$F_2=(\sqrt{m^2-1},0)$.

\begin{enumerate} \item 直线经过 $F_2$，所以 令 $t=m^2$，则 $t>1$，且 $\sqrt{t-1}=\frac t2$. 平方得 $t-1=\frac{t^2}{4}$，$(t-2)^2=0$. 所以 $m=\sqrt2$，直线方程为

\item 设 $A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$. 由直线方程 代入椭圆方程，得 因此 $y_1+y_2=-\frac m2$，$y_1y_2=\frac{m^2}{8}-\frac12$. 由于 $F_1$，$F_2$ 的中点为原点，两个三角形的重心分别为 $G=\left(\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3}\right)$，$H=\left(\frac{x_2}{3},\frac{y_2}{3}\right)$. 原点在以 $GH$ 为直径的圆内，当且仅当 即 利用 $x_i=my_i+\frac{m^2}{2}$，有 因 $m^2+1>0$，上式小于零等价于 $m^2<4$. 结合 $m>1$，得 此时交点确为两个不同点，因为二次方程判别式 $8-m^2>0$. \end{enumerate} \end{solution}