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04集合与逻辑基础★★★☆☆
设 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则“xsin⁡2x<1x \sin^2 x < 1”是“xsin⁡x<1x \sin x < 1”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}，所以 0<sin⁡x<10<\sin x<1，从而
xsin⁡2x<xsin⁡xx\sin^2x<x\sin x
若 xsin⁡x<1x\sin x<1，则必有 xsin⁡2x<1x\sin^2x<1，所以“xsin⁡x<1x\sin x<1”是“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”的充分条件，即前一个条件是后一个条件的必要条件.
再设 x0x_0 是方程 xsin⁡x=1x\sin x=1 在 (0,π2)(0,\frac\pi2) 内的根. 由于 xsin⁡xx\sin x 连续，且在 x=1x=1 时小于 11，在 x=π2x=\frac\pi2 时大于 11，这样的 x0x_0 存在. 此时
x0sin⁡2x0=sin⁡x0<1x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1
但 x0sin⁡x0<1x_0\sin x_0<1 不成立. 因此“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”不是“xsin⁡x<1x\sin x<1”的充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 浙江 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=4sin⁡(2x+1)−xf(x) = 4\sin (2x + 1) - x，则在下列区间中函数 f(x)f(x) 不存在零点的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 先说明在 [−4,−2][-4,-2] 上没有零点. 令 x0=−2π−12x_0=\frac{-2\pi-1}{2}. 当 −4⩽x⩽x0-4\leqslant x\leqslant x_0 时，令 u=2x+1+2πu=2x+1+2\pi，则 −1<u⩽0-1<u\leqslant0，并且 sin⁡(2x+1)=sin⁡u⩾u\sin(2x+1)=\sin u\geqslant u. 于是
f(x)⩾4u−x=7x+8π+4⩾8π−24>0f(x)\geqslant4u-x=7x+8\pi+4\geqslant8\pi-24>0
当 x0⩽x⩽−π−12x_0\leqslant x\leqslant\frac{-\pi-1}{2} 时，−2π⩽2x+1⩽−π-2\pi\leqslant2x+1\leqslant-\pi，故 sin⁡(2x+1)⩾0\sin(2x+1)\geqslant0，从而 f(x)>0f(x)>0.
剩下的区间 −π−12⩽x⩽−2\frac{-\pi-1}{2}\leqslant x\leqslant-2 很短. 令 v=2x+1+πv=2x+1+\pi，则 0⩽v⩽π−3<170\leqslant v\leqslant\pi-3<\frac17，且 sin⁡(2x+1)=−sin⁡v\sin(2x+1)=-\sin v. 因此
f(x)=−4sin⁡v−x⩾−4v+π+1−v2>0f(x)=-4\sin v-x\geqslant-4v+\frac{\pi+1-v}{2}>0
其中用了 3<π<2273<\pi<\frac{22}{7}. 所以 f(x)>0f(x)>0 在 [−4,−2][-4,-2] 上恒成立.
函数连续. 由 0<π−3<170<\pi-3<\frac17 及 sin⁡t<t\sin t<t（t>0t>0），
f(−2)=2−4sin⁡3=2−4sin⁡(π−3)>2−47>0f(-2)=2-4\sin3=2-4\sin(\pi-3)>2-\frac47>0
又因 π6<1<π2\frac{\pi}{6}<1<\frac{\pi}{2}，有 sin⁡1>12\sin1>\frac12，从而 f(−1)=1−4sin⁡1<−1<0f(-1)=1-4\sin1<-1<0，f(0)=4sin⁡1>0f(0)=4\sin1>0. 因此在 [−2,0][-2,0] 和 [0,2][0,2] 内分别存在零点.
再由 3π2<5<2π\frac{3\pi}{2}<5<2\pi，得 sin⁡5<0\sin5<0，所以
f(2)=4sin⁡5−2<0f(2)=4\sin5-2<0
令 δ=8−5π2\delta=8-\frac{5\pi}{2}. 由 3110<π<165\frac{31}{10}<\pi<\frac{16}{5} 得 0<δ<140<\delta<\frac14，于是 sin⁡8=cos⁡δ>1−δ22>3132\sin8=\cos\delta>1-\frac{\delta^2}{2}>\frac{31}{32}，f(72)=4sin⁡8−72>38>0f\left(\frac72\right)=4\sin8-\frac72>\frac38>0. 最后令 ε=9−5π2\varepsilon=9-\frac{5\pi}{2}. 由 3<π<1853<\pi<\frac{18}{5} 得 0<ε<π20<\varepsilon<\frac{\pi}{2}，故 sin⁡9=cos⁡ε<1\sin9=\cos\varepsilon<1，从而
f(4)=4sin⁡9−4<0f(4)=4\sin9-4<0
所以在 [2,4][2,4] 内也存在零点. 故不含零点的区间是 [−4,−2][-4,-2]，选 A. \end{solution}
A.
[−4,−2][-4, -2]
B.
[−2,0][-2,0]
C.
[0,2][0,2]
D.
[2,4][2,4]

2010 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x−π4)−22sin⁡2xf(x) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 2\sqrt{2}\sin^2 x 的最小正周期是______. \begin{answer} π\pi \end{answer}
\begin{solution} 利用 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} 及和角公式，得
f(x)=sin⁡2x−cos⁡2x2−2(1−cos⁡2x)=sin⁡2x+cos⁡2x2−2=sin⁡(2x+π4)−2.\begin{aligned} f(x)&=\frac{\sin2x-\cos2x}{\sqrt2}-\sqrt2(1-\cos2x)\\ &=\frac{\sin2x+\cos2x}{\sqrt2}-\sqrt2\\ &=\sin\left(2x+\frac\pi4\right)-\sqrt2. \end{aligned}
正弦函数的自变量系数为 22，所以最小正周期为 2π2=π\frac{2\pi}{2}=\pi. \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡2C=−14\cos 2C = -\frac{1}{4}.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 当 a=2a = 2，2sin⁡A=sin⁡C2 \sin A = \sin C 时，求 bb 及 cc 的长.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 0<C<π0<C<\pi，所以 sin⁡C>0\sin C>0. 由二倍角公式
cos⁡2C=1−2sin⁡2C=−14\cos2C=1-2\sin^2C=-\frac14
得 sin⁡2C=58\sin^2C=\frac58，sin⁡C=104\sin C=\frac{\sqrt{10}}4.
\item 由正弦定理及 a=2a=2，2sin⁡A=sin⁡C2\sin A=\sin C，得
csin⁡C=asin⁡A=2sin⁡C2=4sin⁡C\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A} =\frac{2}{\frac{\sin C}{2}}=\frac4{\sin C}
所以 c=4c=4. 又由 cos⁡2C=−14\cos2C=-\frac14， cos⁡2C=1+cos⁡2C2=38\cos^2C=\frac{1+\cos2C}{2}=\frac38，cos⁡C=±64\cos C=\pm\frac{\sqrt6}{4}. 对三角形使用余弦定理，
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C
即
b2−4bcos⁡C−12=0b^2-4b\cos C-12=0
当 cos⁡C=64\cos C=\frac{\sqrt6}{4} 时，b2−6b−12=0b^2-\sqrt6b-12=0，取正根得 b=26b=2\sqrt6；当 cos⁡C=−64\cos C=-\frac{\sqrt6}{4} 时，b2+6b−12=0b^2+\sqrt6b-12=0，取正根得 b=6b=\sqrt6. 两组边长均满足三角形不等式.
因此
(b,c)=(6,4)或(26,4)(b,c)=(\sqrt6,4)\quad\text{或}\quad(2\sqrt6,4)
\end{enumerate} \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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