对任意的实数 $k$，直线 $y = kx + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的位置关系一定是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 直线 $y=kx+1$ 恒过定点 $(0,1)$. 该点到圆心 $O(0,0)$ 的距离为 $1$，小于圆的半径 $\sqrt2$，所以定点在圆内，过该点的任意直线都与圆相交于两个点. 又直线不经过原点，因为将 $(0,0)$ 代入 $y=kx+1$ 不成立. 因而直线与圆相交但不过圆心，故选 C. \end{solution}

过抛物线 $y^{2}=2x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A$，$B$ 两点，若 $|AB|=\frac{25}{12}$，$|AF|<|BF|$，则 $|AF|=$______.

\begin{answer} $\frac{5}{6}$ \end{answer}

\begin{solution} 抛物线 $y^{2}=2x$ 的焦点为 $F\left(\frac12,0\right)$. 由于竖直弦 $x=\frac12$ 的长度为 $2$，不等于题设的 $\frac{25}{12}$，故可设直线 $l$ 为 $y=k\left(x-\frac12\right)$，$k\ne0$ 与抛物线联立，得 即 设交点横坐标为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 因为两点在斜率为 $k$ 的直线上，所以 从而 $k^{2}=24$. 代回交点方程，得 $24x^{2}-26x+6=0$，$(3x-1)(4x-3)=0$， 所以两个交点的横坐标为 $\frac13$ 和 $\frac34$. 由直线距离公式， $AF=\left|\frac13-\frac12\right|\sqrt{1+k^{2}}=\frac56$，$BF=\left|\frac34-\frac12\right|\sqrt{1+k^{2}}=\frac54$ 由 $|AF|<|BF|$，故 $|AF|=\frac56$. \end{solution}

如图，设椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$，左，右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，线段 $OF_{1}$，$OF_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$，$B_{2}$，且 $\triangle AB_{1}B_{2}$ 是面积为 4 的直角三角形.

(1) 求该椭圆的离心率和标准方程； (2) 过 $B_{1}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，使 $PB_{2} \perp QB_{2}$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，$a>b>0$ 焦点为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，其中 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$. 则 $A=(0,b)$，$B_{1}=\left(-\frac c2,0\right)$，$B_{2}=\left(\frac c2,0\right)$ 三角形 $AB_{1}B_{2}$ 为等腰三角形，直角只能在顶点 $A$，所以 故 $c^{2}=4b^{2}$，从而 $a^{2}=b^{2}+c^{2}=5b^{2}$. 又 所以 $b^{2}=4$，$c=4$，$a^{2}=20$. 因而离心率为 椭圆的标准方程为

\item 由上问，$B_{1}=(-2,0)$，$B_{2}=(2,0)$. 直线 $l$ 不能为 $x$ 轴，否则不满足垂直条件，故设 $l:$，$x=my-2$ 将其代入椭圆方程，得 $\frac{(my-2)^{2}}{20}+\frac{y^{2}}4=1$，$(m^{2}+5)y^{2}-4my-16=0$ 设交点 $P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$，则 $y_{1}$，$y_{2}$ 是上式的两根，所以 $y_{1}+y_{2}=\frac{4m}{m^{2}+5}$，$y_{1}y_{2}=-\frac{16}{m^{2}+5}$ 由 $x_{i}=my_{i}-2$，有 $\overrightarrow{B_{2}P}=(my_{1}-4,y_{1})$，$\overrightarrow{B_{2}Q}=(my_{2}-4,y_{2})$ 条件 $PB_{2}\perp QB_{2}$ 等价于 所以 $m=\pm2$. 于是直线 $l$ 为 \end{enumerate} \end{solution}