设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导，其导函数为 $f'(x)$，且函数 $y = (1 - x)f'(x)$ 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 记 $g(x)=(1-x)f'(x)$. 由图可知 $g(x)$ 在 $-2$，$1$，$2$ 处为零，并且符号依次为 $g(x):$，$+$，$\ -$，$\ +$，$\ -$ 对应区间为 $(-\infty,-2)$，$(-2,1)$，$(1,2)$，$(2,+\infty)$. 当 $x<1$ 时 $1-x>0$，当 $x>1$ 时 $1-x<0$，所以 因此 $f(x)$ 在 $-2$ 左增右减，在 $2$ 左减右增，故有极大值 $f(-2)$ 和极小值 $f(2)$. 选项 D 正确. \end{solution}

设 $f(x)=a\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2}x+1$，其中 $a\in \mathbf{R}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的极值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数的定义域为 $x>0$，且 曲线在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴，所以该切线为水平切线，故 $f'(1)=0$. 因此 $a-\frac12+\frac32=0$，$a=-1$

\item 代入 $a=-1$，得 在定义域 $x>0$ 内，$3x+1>0$，$2x^{2}>0$，所以 $f'(x)<0$ 当 $0<x<1$，$f'(x)>0$ 当 $x>1$. 于是 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减，在 $(1,+\infty)$ 上递增，故 $x=1$ 为极小值点. 极小值为 函数没有最大值. \end{enumerate} \end{solution}