设 $\tan \alpha$，$\tan \beta$ 是方程 $x^{2} - 3x + 2 = 0$ 的两根，则 $\tan (\alpha + \beta)$ 的值为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由韦达定理， $\tan\alpha+\tan\beta=3$，$\tan\alpha\tan\beta=2$ 由于 $1-\tan\alpha\tan\beta=-1\ne0$，正切和公式可用，故 故选 A. \end{solution}

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且以 2 为周期，则 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数是“$f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数”的（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设命题 $P$ 为“$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为增函数”，命题 $Q$ 为“$f(x)$ 在 $[3,4]$ 上为减函数”. 由周期性和偶性，对 $x\in[3,4]$ 有 其中 $4-x\in[0,1]$.

若 $P$ 成立，取 $3\le x_{1}<x_{2}\le4$，则 $4-x_{1}>4-x_{2}$，于是 所以 $Q$ 成立. 反之，若 $Q$ 成立，取 $0\le u_{1}<u_{2}\le1$，则 $4-u_{2}<4-u_{1}$，由 $Q$ 得 所以 $P$ 成立. 因此 $P$ 是 $Q$ 的充要条件，故选 D. \end{solution}

设平面点集 $A = \left\{(x, y) \mid (y - x)\left(y - \frac{1}{x}\right) \geqslant 0\right\}$，$B = \{(x, y) \mid (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \leqslant 1\}$，则 $A \cap B$ 所表示的平面图形的面积为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 圆 $B$ 的内部是圆心 $(1,1)$、半径 $1$ 的圆盘. 除去边界上的零测集，圆盘内有 $x>0$，$y>0$，于是条件可改写为 在交换 $x$ 与 $y$ 时，圆盘保持不变，而 符号相反. 因此，圆盘内满足严格不等式的一点与其关于直线 $y=x$ 的对称点恰有一个属于 $A$，边界对面积没有影响. 所以 $A\cap B$ 占圆盘面积的一半，面积为 故选 D. \end{solution}