某艺校在一天的 $6$ 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 $1$ 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 $1$ 节艺术课的概率为______.

\begin{answer} $\frac{3}{5}$ \end{answer}

\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为 设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 $g_{1}$，$g_{2}$，并令两端的艺术课数为 $g_{0}$，$g_{3}$. 则 $g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3$，$g_{1}$，$g_{2}\in\{0,1\}$. 当 $(g_{1},g_{2})=(0,0)$ 时有 $4$ 种；当恰有一个为 $1$ 时有 $3+3=6$ 种；当 $(g_{1},g_{2})=(1,1)$ 时有 $2$ 种. 所以符合条件的排列有 $4+6+2=12$ 种，所求概率为 \end{solution}

甲，乙两人轮流投篮. 每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次投篮互不影响.

(1) 求甲获胜的概率； (2) 求投篮结束时的甲投篮次数 $\xi$ 的分布列与期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记甲、乙在第 $k$ 次投篮投中的事件分别为 $A_{k}$，$B_{k}$. 甲在第 $k$ 次投中而获胜，要求前 $k-1$ 轮双方都未投中，然后甲第 $k$ 次投中. 因此 $P(A_{k}\text{使甲获胜}) =\left(\frac23\cdot\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac13 =\left(\frac13\right)^{k-1}\frac13$，$k=1$，$2$，$3$. 这些事件互斥，故甲获胜的概率为

\item $\xi$ 的可能取值为 $1$，$2$，$3$. 当第一轮结束时投篮结束的概率为 第一轮双方均未投中后，第二轮结束的概率为 若前两轮双方均未投中，则无论第三轮是否有人投中，投篮都在第三轮结束，所以 因此分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} $\xi$ & $1$ & $2$ & $3$ \ \hline $P$ & $\frac23$ & $\frac29$ & $\frac19$ \end{tabular} \end{center} 且 \end{enumerate} \end{solution}