设四面体的六条棱的长分别为 $1$，$1$，$1$，$1$，$\sqrt{2}$ 和 $a$，且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设长为 $a$ 的棱为 $AB$，长为 $\sqrt2$ 的异面棱为 $CD$，则其余四条棱 $AC$，$AD$，$BC$，$BD$ 均长为 $1$. 记 $CD$ 的中点为 $M$. 由 $AC=AD=1$，且 $CM=DM=\frac{\sqrt2}{2}$，得 $AM\perp CD$，并且

因此，点 $A$ 位于过 $M$ 且垂直于 $CD$ 的平面内，以 $M$ 为圆心、半径 $\frac{\sqrt2}{2}$ 的圆上. 同样，由 $BC=BD=1$，点 $B$ 也位于这个圆上. 因此 $AB$ 是此圆的一条弦，故 当 $a=\sqrt2$ 时，$A$，$B$ 为圆的两个对径点，四点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共面，不能构成四面体；当 $a=0$ 时 $A$ 与 $B$ 重合，也不能构成四面体. 对于 $0<a<\sqrt2$，四点不共面，可以构成题设四面体. 所以 故选 A. \end{solution}

如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB = 4$，$AC = BC = 3$，$D$ 为 $AB$ 的中点.

(1) 求点 C 到平面 $A_{1}ABB_{1}$ 的距离； (2) 若 $AB_{1} \perp A_{1}C$，求二面角 $A_{1} - CD - C_{1}$ 的平面角的余弦值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在等腰三角形 $ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 的中点，所以 $CD\perp AB$，且 直三棱柱的侧棱垂直于底面，故 $AA_{1}\perp CD$，$BB_{1}\perp CD$. 因为 $AB$ 与 $AA_{1}$ 都在平面 $A_{1}ABB_{1}$ 内，且 $CD$ 同时垂直于这两条相交直线，所以 $CD\perp\text{平面 }A_{1}ABB_{1}$. 因而点 $C$ 到该平面的距离为 $CD=\sqrt5$.

\item 取直角坐标系，使 $D$ 为原点，$DB$，$DC$，$DD_{1}$ 分别为 $x$，$y$，$z$ 轴正方向，设棱柱的高为 $h$. 则 $A=(-2,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$C=(0,\sqrt5,0)$ $A_{1}=(-2,0,h)$，$B_{1}=(2,0,h)$，$C_{1}=(0,\sqrt5,h)$ 由 $AB_{1}\perp A_{1}C$，得 $\overrightarrow{AB_{1}}=(4,0,h)$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(2,\sqrt5,-h)$ $\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{A_{1}C}=8-h^{2}=0$，$h=2\sqrt2$ 取 $D_{1}=(0,0,h)$. 直线 $DA_{1}$ 和 $DD_{1}$ 都垂直于棱 $CD$，且分别在平面 $A_{1}CD$ 和 $C_{1}CD$ 内，所以二面角 $A_{1}-CD-C_{1}$ 的平面角可取为 $\angle A_{1}DD_{1}$. 因此 $\overrightarrow{DA_{1}}=(-2,0,2\sqrt2)$，$\overrightarrow{DD_{1}}=(0,0,2\sqrt2)$ \end{enumerate} \end{solution}