双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点为 $F_1$，$F_2$，若 $P$ 为其上一点，且 $|PF_1| = 2|PF_2|$，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 设 $d_1=|PF_1|$，$d_2=|PF_2|$. 题设给出 $d_1=2d_2$. 双曲线的焦点距离为 $F_1F_2=2c$，且双曲线上任一点满足焦点距离之差的绝对值为 $2a$，于是 从而 $d_2=2a$，$d_1=4a$. 在三角形 $PF_1F_2$ 中，三角不等式给出 $2c\leqslant4a+2a$，所以离心率 $e=\frac{c}{a}\leqslant3$. 又因 $b>0$，有 $c^2=a^2+b^2>a^2$，故 $e>1$.

当 $1<e<3$ 时，长度 $2c$，$4a$，$2a$ 能构成非退化三角形，因两焦点距离之差为 $2a$，所构成的点在该双曲线上；当 $e=3$ 时，取顶点可得焦点距离分别为 $4a$，$2a$，条件仍成立. 因此 $e\in(1,3]$，选 B. \end{solution}

若直线 $3x + 4y + m = 0$ 与圆 （$\theta$ 为参数）没有公共点，则实数 $m$ 的取值范围是______. \begin{answer} $m<0$ 或 $m>10$ \end{answer} \begin{solution} 参数方程表示的圆为 $(x-1)^2+(y+2)^2=1$，圆心为 $C(1,-2)$，半径为 $1$. 圆心到直线 $3x+4y+m=0$ 的距离为 直线与圆没有公共点当且仅当 $d>1$，即 $|m-5|>5$. 解得 $m<0$ 或 $m>10$. \end{solution}

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点是 $F(1,0)$，$O$ 为坐标原点.

(1) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； (2) 设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$、$B$ 两点. 若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，恒有 $|OA|^2 + |OB|^2 < |AB|^2$，求 $a$ 的取值范围.