函数 $f(x) = x^3 + \sin x + 1$（$x \in \mathbf{R}$），若 $f(a) = 2$，则 $f(-a)$ 的值为（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由 $f(a)=2$，得 $a^3+\sin a+1=2$，即 $a^3+\sin a=1$. 因此 $f(-a)=(-a)^3+\sin(-a)+1=-a^3-\sin a+1=0$，选 B. \end{solution}

若实数 $x$， $y$ 满足 则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 由 $x-y+1\leqslant0$ 得 $y\geqslant x+1$. 因为 $x>0$，所以 任取 $r>1$，取 $x=\dfrac1{r-1}>0$，再取 $y=rx=x+1$，便有 $\frac{y}{x}=r$. 因此 $\frac{y}{x}$ 的取值范围恰为 $(1,+\infty)$，选 C. \end{solution}

已知函数 $y = f(x)$，$y = g(x)$ 的导函数的图象如下图，那么 $y = f(x)$，$y = g(x)$ 的图象可能是（ ）

\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由导函数图象可见，在 $x_0$ 左侧有 $f'(x)>g'(x)$，在 $x_0$ 右侧有 $f'(x)<g'(x)$，且 $f'(x)$ 递减、$g'(x)$ 递增. 因此 $f(x)-g(x)$ 先增后减，在 $x_0$ 处取得极大值；同时 $f$ 的图象应向下弯，$g$ 的图象应向上弯. 四个选项中只有 D 的相对位置和弯曲方向同时满足这些条件，故选 D. \end{solution}

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点是 $F(1,0)$，$O$ 为坐标原点.

(1) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； (2) 设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$、$B$ 两点. 若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，恒有 $|OA|^2 + |OB|^2 < |AB|^2$，求 $a$ 的取值范围.